16、蒙特卡罗方法：原理、应用与算法详解

蒙特卡罗方法：原理、应用与算法详解

1. 蒙特卡罗方法的起源

蒙特卡罗方法的起源可以追溯到美国洛斯阿拉莫斯国家实验室的曼哈顿计划。在该计划执行期间，物理学家需要研究辐射屏蔽以及中子在各种材料中传播的距离。尽管当时已经有了大部分所需的数据，如中子在与原子核碰撞前在物质中传播的平均距离，以及中子碰撞后可能释放的能量，但使用传统的确定性数学方法仍然无法解决这个问题。

1946 年，乌拉姆（Ulam）首次提出了随机实验的想法，利用新发明的电子计算机来研究中子扩散问题和数学物理中的其他问题。具体来说，就是将某些微分方程描述的过程转化为一系列等效的随机操作。他的想法得到了冯·诺伊曼（von Neumann）的重视，后者使用世界上第一台电子通用数字计算机 ENIAC 编写了相应的程序。由于使用真正的随机数列表非常缓慢，冯·诺伊曼开发了一种使用中平方方法生成伪随机数的程序。这些工作是在极其保密的条件下进行的，需要一个代号，他们的同事尼古拉斯·梅特罗波利斯（Nicholas Metropolis）建议使用摩纳哥的蒙特卡罗赌场的名字，因为乌拉姆的叔叔经常向亲戚借钱去那里赌博，这就是蒙特卡罗这个名字的由来。

1949 年，尼古拉斯·梅特罗波利斯和斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam）在美国统计协会杂志上发表了一篇题为《蒙特卡罗方法》的论文。实际上，类似的随机实验工作早在 18 世纪就已经出现。1777 年，法国数学家布丰伯爵（Comte de Buffon）提出用“投针”实验来估计圆周率 π 的值，这就是数学上的布丰投针问题，被认为是蒙特卡罗方法的起源。20 世纪 30 年代，恩里科·费米（Enrico Fermi）在他的中子扩散研究中首次使用了随机抽样方法。

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