24、优化算法的多元探索

优化算法的多元探索

在优化问题的求解中，我们常常会遇到各种复杂的情况，需要运用不同的算法来找到最优解。本文将详细介绍几种常见的优化算法，包括黄金分割法、多项式逼近法、单纯形搜索法、模式搜索法、最速下降法以及共轭梯度法。

黄金分割法与最优值确定

在进行优化计算时，当两点间的距离小于收敛容差时，就可以确定最优值。例如，通过一系列迭代计算，最终得出点 $x^ = \frac{3.95 + 4.03}{2} = 3.99$ 被认为是最优值，其对应的函数值 $f(x^ ) = 15.00$。以下是每次迭代的端点、黄金分割点和函数值的详细信息：
| k | $a_k$ | $b_k$ | $f(a_k)$ | $f(b_k)$ | $l_k$ | $r_k$ | $f(l_k)$ | $f(r_k)$ |
| — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| 1 | 0.00 | 10.00 | 95.00 | 195.00 | 3.82 | 6.18 | 15.16 | 38.77 |
| 2 | 0.00 | 6.18 | 95.00 | 38.77 | 2.36 | 3.82 | 28.44 | 15.16 |
| 3 | 2.36 | 6.18 | 28.44 | 38.77 | 3.82 | 4.72 | 15.16 | 17.60 |
| 4 | 2.36 | 4.72 | 28.44 | 17.60 | 3.26 | 3.82 | 17.72 | 15.16 |
| 5 | 3.26 | 4.72 | 17.72 | 17.60 | 3.82 | 4.16 | 15.16 | 15.13