18、全局优化基础入门

全局优化基础入门

1. 全局优化概述

全局优化的目标是在已知或可发现的局部最优解集合中找出最佳的局部解，这个最佳局部最优解被称为全局最优解。从形式上看，全局优化通常是为无约束或有约束的优化问题寻找全局解。全局搜索技术在许多应用领域中都至关重要，比如高级工程设计、数据分析、财务规划、过程控制、风险管理和科学建模等。高度非线性的工程模型往往存在多个局部最优解。

一个全局优化问题可以定义为：
- 目标函数：$f(x)$
- 约束条件：包括不等式约束函数$g(x)$、等式约束函数$h(x)$以及边界约束

全局优化面临着独特的挑战，下面将介绍三种典型的解决全局优化问题的方法，并说明如何使用MATLAB全局优化工具箱来解决此类问题。

2. 全局优化中的实际问题

目标函数可能存在全局最小值和局部最小值，当出现这种情况时，该问题被归类为多峰优化问题。全局优化的目标就是找出全局最优解。

2.1 单峰和多峰目标函数

一维目标函数有单峰和多峰两种类型。以变量$x$在区间$[0, 10]$为例：
- 单峰函数 ：如图8.1(a)所示，只有一个局部最小值，这个局部最小值就是全局最小值。可以使用基于梯度的优化方法来找到其全局最小值。
- 多峰函数 ：如图8.1(b)所示，存在多个局部最小值，如$x_1^ $、$x_2^ $、$x_3^ $和$x^ $，其中$x^*$对应的函数值是所有局部最小值中最低的，它就是该多峰目标函数的全局最小值。基于梯度的优化方法难以直接找