12、多目标优化中的帕累托最优解及相关方法

多目标优化中的帕累托最优解及相关方法

1. 帕累托最优解的引入

在多目标优化设计问题中，求解优化问题是关键。与单目标问题不同，多目标优化问题通常没有唯一解，因为不同的权衡水平可能会产生不同的解。一组被称为帕累托最优解的解集构成了优化问题的完整解集。

为了理解帕累托最优的概念，我们来看一个简单的例子。考虑一个无约束问题，涉及两个设计目标 $\mu_1$ 和 $\mu_2$，它们是单个设计变量 $x$ 的函数，我们希望同时最小化这两个目标。

如果我们独立地最小化每个目标函数，忽略另一个目标，会得到对应目标最小值的点。假设我们处于目标 1 的最小值点 $M_1$，若想让目标 2 的值比在 $M_1$ 处更低，就需要向右移动到点 $B$。此时，目标 2 的值降低了，但目标 1 的值增加了。这表明，为了改善 $\mu_2$ 的值，我们不得不牺牲 $\mu_1$ 的性能。实际上，$M_1$ 和 $M_2$ 之间的所有点都是如此，这些点被称为帕累托最优解或非支配解。

帕累托最优解的定义是：任何一个目标的改进都会导致至少一个其他目标的恶化。也就是说，会发生权衡。如果一个点是帕累托最优的，那么可以确定不可能同时改善所有目标。像点 $A$ 这样，向右移动时两个目标同时减小的点，被称为非帕累托或支配解。中间的阴影区域是所有帕累托最优的设计变量值的集合。作为优化工程师，在解决多目标优化问题时，应该关注帕累托点。

2. 帕累托前沿

在设计变量空间（$x$ 空间）中确定了如何识别帕累托解后，我们引入设计目标空间的概念。这是一个每个轴上都绘制一个设计目标的图。我们特别关注将帕累托解的设计目标值绘制在这个目标空间中会发生什么。在目标空间中看到的点的