10、优化问题的求解方法与软件选择

优化问题的求解方法与软件选择

1. 优化问题的数值与图形示例

在优化问题中，我们常常需要找到满足特定约束条件下目标函数的最小值。以函数 (f(x)) 为例，它生成的等高线图能直观地展示优化过程。图中每个点代表一次迭代，括号内的数字是给定设计变量下目标函数的值。最优解定义为满足指定约束条件下目标函数的最小值。

例如，目标函数 (f(x)) 的等高线图显示，对应 (f(x) = 1.00) 的等高线构成了可行解空间的边界（可行区域）。初始点 (x = [1, 0.2]) 对应的目标函数值 (f(x) = 1.56) 位于可行区域之外。优化器通过一系列迭代步骤逐步寻找最小值，迭代过程中目标函数值不断减小，直至达到最小值（最优解）。使用 MATLAB 的 (fmincon) 函数求解此问题需要 13 次迭代，理论上最优解为 (x^ = [0, 0])，此时 (f(x)^ = 0)。但在实际中，MATLAB 或其他优化代码给出的最优解会有一定的精度限制，默认精度通常为 4 到 6 位小数。对于上述示例，MATLAB 给出的最优设计值为 (x^ = [-0.0341, -0.002])，(f(x)^ = 1.0337 × 10^{-6})。若要获得更精确的设计变量值，可通过缩放目标函数或更改 MATLAB 的默认精度参数来实现。

初始点	初始目标函数值	理论最优解	实际最优解
(x = [1, 0.2])