58、结合二叉搜索树与双手瓦片组装模型研究

结合二叉搜索树与双手瓦片组装模型研究

1. 单指二叉搜索树（OneFinger - BST）实现

在二叉搜索树的操作优化中，单指二叉搜索树是一个重要的研究方向。为了更好地实现相关操作，我们对每个节点进行了扩充。
- 节点扩充 ：为每个节点增加一个 $O(|F|)$ 位的字段，用于存储节点的类型以及当前位于该节点的手指信息。
- 操作执行流程 ：
1. 所有单指二叉搜索树操作都以要操作的手指作为输入。
2. 利用上述扩充的位信息进行暴力搜索，找到输入手指所指向的节点。需要注意的是，所有这些手指与根节点的距离为 $O(1)$。
3. 执行相应操作，并对树进行相关更新，以反映 $H(T, F)$ 的变化。具体而言，为执行操作，通过调用适当的肌腱二叉搜索树（Tendon - BST）函数，从手指周围的肌腱中提取相关节点。
4. 执行操作并更新节点，以体现手部结构的变化。
5. 最后，使用适当的肌腱二叉搜索树函数将肌腱节点插回到它们对应的肌腱中。

定理 7 ：给定任意多指二叉搜索树（MultiFinger - BST）数据结构 $A$，其中 $op_A[j]$ 是 $A$ 执行的第 $j$ 个操作，那么单指二叉搜索树 $OneFinger - BST(A)$ 是一个二叉搜索树数据结构。对于任意 $k$ 个在线操作 $(op_A[1], \ldots, op_A[k])$，$OneFinger - BST(A)$ 能在 $C_2 \cdot k$ 的总时间内模拟这些操作，其中常数 $C_2$ 取决于 $A$ 使用的手指数量。若 $