50、谢拉利 - 亚当斯层次中不对称旅行商问题的整数比研究

谢拉利 - 亚当斯层次中不对称旅行商问题的整数比研究

旅行商问题（TSP）是组合优化领域的经典问题，在理论和实践中都有广泛的应用。TSP 可分为对称 TSP（TSP）和不对称 TSP（ATSP），其中 ATSP 更为一般，不要求城市间的距离具有对称性。本文聚焦于 ATSP 在谢拉利 - 亚当斯（SA）提升投影方法框架下的整数比问题。

1. 引言

TSP 旨在找到一条遍历所有城市且每个城市仅访问一次的最小成本路径。线性规划（LP）松弛在解决 TSP 和 ATSP 中起着核心作用。常见的 ATSP 的 LP 松弛包括标准 LP（DFJ LP）和平衡 LP（Bal LP）。

标准 LP 由丹齐格、富尔克森和约翰逊提出，对每个非平凡割有约束条件，并且每个顶点有入度和出度约束。平衡 LP 是标准 LP 的进一步松弛，它将每个顶点的入度和出度约束替换为平衡约束。在度量成本下，标准 LP 和平衡 LP 的最优值相同。

衡量标准 LP 目标值质量的指标是整数比（也称为整数间隙），它定义为所有实例中实例的整数比的上确界。对于 TSP 和 ATSP，多年来众多研究致力于证明标准 LP 的整数比的界。对于 TSP，基于克里斯托菲德斯算法的方法表明整数比 ≤ 3/2，而目前已知的最佳下界是 4/3。对于 ATSP，阿萨德普尔等人的最新结果表明整数比 ≤ O(log n / log log n)，而查里卡尔等人证明了整数比的下界为 2。

本文的目标是证明在应用 SA 提升投影方法得到的更严格的 LP 松弛下，ATSP 的整数比的下界。

1.1 凸松弛层次结构

在过去的 25 年中，为了系统地收紧松弛，开发了几种方法。假设每