40、几何随机变量和随机图的精确高效生成

几何随机变量和随机图的精确高效生成

在当今的图算法研究和实际应用中，随机图的生成扮演着至关重要的角色。然而，传统的随机图生成算法在精确性和效率方面存在诸多问题，尤其是在有界精度的机器模型下。本文将深入探讨如何实现几何随机变量和随机图的精确高效生成。

1. 引言

随机图生成在图算法的实证研究中占据了很大的比例，它也广泛应用于互联网拓扑的网络协议模拟、社交网络中流行病（或谣言）的传播模拟，以及生物网络中基序的检测等实际应用场景。我们主要关注均匀和非均匀随机图，特别是 Erdős - Rényi 和 Chung - Lu 图。而生成这些图的关键在于高效精确地采样几何随机变量。

非均匀随机变量通常由在 [0, 1] 上均匀分布的随机变量生成。虽然现在我们可以快速获取高质量的随机比特流，但大多数非均匀随机变量生成算法假设使用的是 Real RAM 模型，该模型可以处理实数。然而，实数是无限对象，物理计算机只能处理有限部分，这导致这些算法在实际应用中存在问题。例如，典型的双精度浮点实现虽然高效，但并不精确，可能会使某些结果无法达到，或者使某些结果的出现概率与预期不符。

之前已经有很多关于随机图生成的研究，如生成随机正则图、具有规定度分布的图和具有规定联合度分布的图等。但这些算法大多在 $n \to \infty$ 时才收敛到所需的分布，对于有限的 $n$ 只能得到近似分布。对于 Erdős - Rényi 随机图 $G(n, p)$，许多实验论文使用运行时间为 $\Theta(n^2)$ 的算法，因为大多数图算法软件库中没有高效的随机图生成器。虽然有一些算法可以在 Real RAM 上以期望时间 $O(m + n)$ 采样 $G(n, p)$，但在有界精度的物理计算机上实