32、高阶抽象Voronoi图的复杂度分析

高阶抽象Voronoi图的复杂度分析

1. 引言

在几何计算领域，Voronoi图是一种非常重要的数据结构。对于广泛的k阶Voronoi图，此前并没有很好的复杂度上界。现在有研究给出了一个2k(n - k)的上界复杂度，适用于多种情况。
- 适用场景举例 ：
- 站点可以是$L_2$空间中或Hausdorff度量下具有恒定复杂度的不相交凸对象。
- 对于点站点，距离可以由满足特定条件的任何度量d来衡量。这些条件包括：一般位置的点具有无界的平分线曲线；d - 圆具有恒定的代数复杂度；每个d - 圆包含一个$L_2$ - 圆，反之亦然；对于任意两个不同的点a和c，存在第三个不同的点b，使得μ(a, c) = μ(a, b) + μ(b, c)成立。这涵盖了所有具有恒定复杂度的凸距离函数，以及Karlsruhe度量（其中运动被限制为相对于固定中心点的径向或圆形线段）。
- 具有加法权重$a_p$和$a_q$的点站点，满足对于任意两个不同的站点p和q，有$|a_p - a_q| < |p - q|$。

2. 预备知识

2.1 可允许曲线系统

曲线系统J := {J(p, q) : p ≠ q ∈ S}被称为可允许的，如果除了引言中陈述的公理(A1)、(A2)、(A3)之外，还满足以下公理：
- (A4) 每个曲线J(p, q)（p ≠ q）是无界的。在进行球极投影到球面后，它可以通过北极完成一个封闭的Jordan曲线。
- (A5) 任意两条曲线J(p, q)和J(r, t)只有有限个交点，并且这些交点是横截的。

幸运的是，这些公理的验证