31、图算法与抽象Voronoi图的研究进展

图算法与抽象Voronoi图的研究进展

1. 图算法中的行列式方法

1.1 旅行商问题算法

存在一种算法，能在 $1.2186^n n^{O(1)}$ 时间内解决三次图上的旅行商问题。这为解决特定类型图的旅行商问题提供了一个较为高效的方案。

1.2 行列式方法解决连通性计数问题

1.2.1 方法主要思想

行列式方法可将连通对象的计数问题转化为更局部的转换问题。要将其扩展到计数问题，需要三个关键见解：
- 第一步：利用Kirchhoff矩阵树定理变体 ：将连通对象的计数问题转化为行列式求和问题。但无法完全控制连通对象的贡献，其可能为1或 -1。
- 第二步：计算行列式平方和 ：为确保每个连通对象恰好贡献一次，计算行列式的平方和。
- 第三步：解决行列式计算非局部问题 ：行列式计算并非完全局部的，因为需要考虑行列式每个求和项中排列的逆序数。通过以适当方式固定顶点顺序，可将此计算变为局部计算。

具体操作如下：
- 设 $A$ 是图 $G$ 一个定向的关联矩阵，$A = (a_{i,j})$ 是一个 $n$ 行 $m$ 列的矩阵，每行由一个顶点索引，每列由一条边索引。若 $v \notin e$，则 $a_{v,e} = 0$；若 $e = uv$ 且 $u < v$，则 $a_{v,e} = -1$；若 $e = uv$ 且 $u > v$，则 $a_{v,e} = 1$。
- 假设所有顶点按照给定树分解中遗忘节点的后序排序，边也根据树分解中