27、流体动力学与曲线设计中的关键问题研究

流体动力学与曲线设计中的关键问题研究

1. 郭氏问题的抛物线不稳定区域

郭氏问题主要研究不可压缩、无粘的平行纬向流动，在地球物理流体动力学中具有重要地位。当科里奥利力导数 $\beta = 0$ 时，郭氏问题退化为标准瑞利问题。

1.1 郭氏特征值问题

郭氏特征值问题是一个二阶微分方程：
$\varphi’’ - \left(\frac{U’’ - \beta}{U - c} + k^2\right)\varphi = 0$
边界条件为：
$\varphi (z_1) = 0 = \varphi (z_2)$
其中，$\varphi$ 是复特征函数，$U(z)$ 是基本速度剖面，$k > 0$ 是波数，$c = c_r + ic_i$ 是复相速度，$\beta$ 是科里奥利力在纬度方向的导数。

通过变换 $\varphi = (U - c)^{\frac{1}{2}}\phi$，方程变为：
$((U - c)\phi’)’ - k^2 (U - c)\phi - \left(\frac{U’‘}{2} - \beta\right)\phi - \frac{(U’)^2}{4(U - c)}\phi = 0$
边界条件为：
$\phi (z_1) = 0 = \phi (z_2)$

1.2 抛物线不稳定区域

• 定理 3.1 ：若 $c_i > 0$，则有以下关系成立：
  $\int_{z_1}^{z_2} (U - c_r)(|\phi’|^2 + k^2|\phi|^