5、算法竞争比与线性草图的研究进展

算法竞争比与线性草图的研究进展

1. 最大流时间相关算法

1.1 子集并行机器的在线算法竞争比

对于子集并行机器上最小化最大流时间的在线算法，如果允许非即时调度但不允许速度增强，其竞争比为 $\Omega(m)$，即使对于单位大小的作业也是如此。

1.2 具有速度增强的竞争算法

有一种 $(1 + \varepsilon, O(1/\varepsilon))$ - 竞争算法用于多台无关机器上的最大流时间问题，该算法具有 $(1 + \varepsilon)$ 速度增强。算法分多个阶段进行，记为 $\Pi_1, \Pi_2, \cdots$，阶段 $\Pi_i$ 从时间 $t_{i - 1}$ 开始，到时间 $t_i$ 结束。在阶段 $\Pi_i$ 中，调度在阶段 $\Pi_{i - 1}$ 释放的所有作业。
- 初始阶段 $\Pi_1$ ：考虑在时间 $t_0 = 0$ 释放的作业，找到一个最小化这些作业完工时间的最优调度，此阶段在处理完所有这些作业时结束。
- 后续阶段 ：假设已经定义了 $\Pi_1, \cdots, \Pi_l$ 并调度了在 $\Pi_1, \cdots, \Pi_{l - 1}$ 释放的作业，考虑在 $\Pi_l$ 释放的作业，从时间 $t_l$ 开始，找到一个最小化它们完工时间的调度（假设所有这些作业都在时间 $t_l$ 释放），此阶段在处理完所有这些作业时结束。

该算法是非即时调度算法且不需要迁移。当 $\varepsilon \leq 1$ 时，该算法具有 $(1 + \varepsilon)$ 速度增强的竞