5、木材浸渍的非线性扩散模型近似解分析

木材浸渍的非线性扩散模型近似解分析

1. 假设剖面

在研究中，采用了一个假设的抛物线剖面，其指数 $n$ 未明确指定，该剖面表示为无量纲变量（距离） $\eta = x / \delta$ 的函数，具体形式如下：
[
u_a = u_0 \left(1 - \frac{x}{\delta}\right)^n \Rightarrow S_a = S_0(1 - \eta)^n
]
当扩散系数为常数以及与浓度相关时，此假设剖面都已被分析过。通过定义无量纲变量 $\eta = x / \delta$，有 $0 \leq \eta \leq 1$，进而 $S_a = S_s(1 - \eta)^n$。在渗透层的边界处，满足 $S(\eta = 0) = 1$ 和 $S(\eta = 1) = 0$，即满足边界条件。引入无量纲变量 $\eta = x / \delta$ 可将移动边界问题（具有移动前沿 $\delta(t)$）转化为固定边界问题。

2. 狄利克雷边界条件下的近似解

2.1 渗透深度：单次积分

从单次积分方法的积分关系出发，并对左侧应用莱布尼茨法则，得到：
[
\frac{d}{dt} \int_0^{\delta} \left(1 - \frac{x}{\delta}\right)^n dx = \frac{-D_0}{a + bS_a(0, t)} \frac{\partial S_a(0, t)}{\partial x}
]
当 $S_a(0, t) = 1$ 且 $\frac{\partial S_a(0, t)}{\partial x} = -\frac{n}