多面集的极点的性质

多面集的极点的性质

设多面集 $S = \{ X \in \mathbb R ^n: AX \le b \},$
其中 $A = \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a_m\end{pmatrix} \in \mathbb R ^{m \times n},$ $b = \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots \\ b_m\end{pmatrix} \in \mathbb R ^{m},$

定义函数 $\phi : \mathbb R ^n \mapsto \mathbb R$ ，
$\forall X \in \mathbb R ^n , \phi (X) =$ 向量组 $\{a_i : a_i X = b_i, i \in \mathbb N, 1 \le i \le m \}$ 的秩。则：
$\forall X \in S$ ， $X$ 是 $S$ 的极点当且仅当 $\phi (X) = n$

证明

充分性：

由于 $\phi (X) = n$ ，不妨设 $a_1, \cdots, a_n$ 线性无关，且 aiX=bi<