凸集(Convex Set)
对于线性空间 VV 中的任意一个集合 若 SS 满足:
则称 SS 为凸集。
例
- S={X∈Rn∣X⊺X−−−−√≤r},r>0S={X∈Rn∣X⊺X≤r},r>0
- S={X∈Rn∣AX=β},A∈Rm×n,β∈RmS={X∈Rn∣AX=β},A∈Rm×n,β∈Rm
- S={X∈Rn∣AX=β,X≥0⃗ },A∈Rm×n,β∈RmS={X∈Rn∣AX=β,X≥0→},A∈Rm×n,β∈Rm
- S={X∈Rn∣AX≤β,X≥0⃗ },A∈Rm×n,β∈RmS={X∈Rn∣AX≤β,X≥0→},A∈Rm×n,β∈Rm
- S={X∈Rn∣X=∑i=1mxiαi},xi∈R,xi≥0,∑i=1mxi=1,ai∈RnS={X∈Rn∣X=∑i=1mxiαi},xi∈R,xi≥0,∑i=1mxi=1,ai∈Rn
证明: ∀α,β∈S,∀α,β∈S, 存在集合
{xi∈R|i∈N,xi≥0,1≤i≤m},{yi∈R|i∈N,yi≥0,1≤i≤m},{xi∈R|i∈N,xi≥0,1≤i≤m},{yi∈R|i∈N,yi≥0,1≤i≤m}, 使得
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪α=∑i=1mxiαiβ=∑i=1myiαi,{α=∑i=1mxiαiβ=∑i=1myiαi, 且 ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪∑i=1mxi=1∑i=1myi=1,{∑i=1mxi=1∑i=1myi=1,
则 ∀λ∈[0,1],λα+(1−λ)β=λ∑i=1mxiαi+(1−λ)∑i=1myiαi=∑i=1m(λxi+(1−λ)yi)αi,∀λ∈[0,1],λα+(1−λ)β=λ∑i=1mxiαi+(1−λ)∑i=1myiαi=∑i=1m(λxi+(1−λ)yi)αi,
且 ∑i=1m(λxi+(1−λ)yi)=λ∑i=1mxi+(1−λ)∑i=1myi=λ+(1−λ)=1∑i=1m(λxi+(1−λ)yi)=λ∑i=1mxi+(1−λ)∑i=1myi=λ+(1−λ)=1
λxi+(1−λ)yi≥0,1≤i≤m,λxi+(1−λ)yi≥0,1≤i≤m,
因此 λα+(1−λ)β∈Sλα+(1−λ)β∈S
性质
对于线性空间 VV 中的任意两个凸集 对于任意一个实数 k∈R,k∈R,
1. kSkS 也是凸集。
证明: ∀α,β∈kS,∃X,Y∈S,∀α,β∈kS,∃X,Y∈S, 使得 α=kX,β=kY,α=kX,β=kY, 则
∀λ∈[0,1],∀λ∈[0,1], 由于SS 是凸集,因此 于是
λα+(1−λ)β=λ(kX)+(1−λ)(kY)=k[λX+(1−λ)Y]∈kSλα+(1−λ)β=λ(kX)+(1−λ)(kY)=k[λX+(1−λ)Y]∈kS
2. S∩TS∩T 也是凸集。
证明: ∀α,β∈S∩T,α,β∈S,α,β∈T,∀α,β∈S∩T,α,β∈S,α,β∈T, 则
∀λ∈[0,1],∀λ∈[0,1], 由于S,TS,T 是凸集,因此 λα+(1−λ)β∈S,λα+(1−λ)β∈T,λα+(1−λ)β∈S,λα+(1−λ)β∈T, 于是
λα+(1−λ)β∈S∩Tλα+(1−λ)β∈S∩T
3. S+T={X+Y∣X∈S,Y∈T}S+T={X+Y∣X∈S,Y∈T} 也是凸集。
证明: ∀α,β∈S+T,∃X1,X2∈S,Y1,Y2∈T,∀α,β∈S+T,∃X1,X2∈S,Y1,Y2∈T, 使得 α=X1+Y1,β=X2+Y2,α=X1+Y1,β=X2+Y2, 则
∀λ∈[0,1],∀λ∈[0,1], 由于S,TS,T 是凸集,因此 λX1+(1−λ)X2∈S,λY1+(1−λ)Y2∈T,λX1+(1−λ)X2∈S,λY1+(1−λ)Y2∈T, 于是
λα+(1−λ)β=λ(X1+Y1)+(1−λ)(X2+Y2)λα+(1−λ)β=λ(X1+Y1)+(1−λ)(X2+Y2)
=[λX1+(1−λ)X2]+λ[Y1+(1−λ)Y2]=[λX1+(1−λ)X2]+λ[Y1+(1−λ)Y2]
∈S+T∈S+T
4. S−T={X−Y∣X∈S,Y∈T}S−T={X−Y∣X∈S,Y∈T} 也是凸集。
证明: ∀α,β∈S−T,∃X1,X2∈S,Y1,Y2∈T,∀α,β∈S−T,∃X1,X2∈S,Y1,Y2∈T, 使得 α=X1−Y1,β=X2−Y2,α=X1−Y1,β=X2−Y2, 则
∀λ∈[0,1],∀λ∈[0,1], 由于S,TS,T 是凸集,因此 λX1+(1−λ)X2∈S,λY1+(1−λ)Y2∈T,λX1+(1−λ)X2∈S,λY1+(1−λ)Y2∈T, 于是
λα+(1−λ)β=λ(X1−Y1)+(1−λ)(X2−Y2)λα+(1−λ)β=λ(X1−Y1)+(1−λ)(X2−Y2)
=[λX1+(1−λ)X2]−[λY1+(1−λ)Y2]=[λX1+(1−λ)X2]−[λY1+(1−λ)Y2]
∈S−T∈S−T
凸组合(Convex Combination)
∀α,β,γ∈V,∀α,β,γ∈V, 若 ∃λ∈[0,1],∃λ∈[0,1], 使得 γ=λα+(1−λ)βγ=λα+(1−λ)β 则称向量 γγ 为 αα 与 ββ 的凸组合。若 λ∈(0,1),λ∈(0,1), 则称 γγ 为 αα 与 ββ 的严格(strict)凸组合。
凸集的极点(Extreme point)
对于凸集 SS 中的任意一个点 若 γγ 不是 SS 中任意两个不同点的严格凸组合,则称 为 SS 的一个极点。
即: 若 使得 γ=λα+(1−λ)β,γ=λα+(1−λ)β, 则 α=βα=β 。
超平面(Hyperplane)与半平面(Half-space)
∀α∈Rn,α≠0⃗ ,k∈R,∀α∈Rn,α≠0→,k∈R, 称集合 {X∈Rn∣α⊺X=k}{X∈Rn∣α⊺X=k} 为超平面。
称集合 {X∈Rn∣α⊺X≥k}{X∈Rn∣α⊺X≥k} 为半平面。
性质
- 对于任意一个超平面 S={X∈Rn∣α⊺X=k},S={X∈Rn∣α⊺X=k},
∀X0∈S,∀X0∈S, S={X∈Rn∣α⊺(X−X0)=0}S={X∈Rn∣α⊺(X−X0)=0}
证明: X0∈SX0∈S 得 α⊺X0=k,α⊺X0=k, 因此
∀X∈Rn,X∈S⇔α⊺X=k⇔α⊺X=α⊺X0⇔α⊺(X−X0)=0∀X∈Rn,X∈S⇔α⊺X=k⇔α⊺X=α⊺X0⇔α⊺(X−X0)=0 - 对于任意一个超平面 S={X∈Rn∣α⊺X=k},S={X∈Rn∣α⊺X=k},
∀X0∈S,∀X0∈S, 半平面 S1={X∈Rn∣α⊺X≥k}={X∈Rn∣α⊺(X−X0)≥0}S1={X∈Rn∣α⊺X≥k}={X∈Rn∣α⊺(X−X0)≥0}
证明: X0∈SX0∈S 得 α⊺X0=k,α⊺X0=k, 因此
∀X∈Rn,X∈S1⇔α⊺X≥k⇔α⊺X≥α⊺X0⇔α⊺(X−X0)≥0∀X∈Rn,X∈S1⇔α⊺X≥k⇔α⊺X≥α⊺X0⇔α⊺(X−X0)≥0 - ∀α∈Rn,α≠0⃗ ,k∈R,∀α∈Rn,α≠0→,k∈R, S={X∈Rn∣α⊺X≤k}S={X∈Rn∣α⊺X≤k} 也为超平面。
证明:∀X∈Rn,X∈S⇔α⊺X≤k⇔−α⊺X≥−k⇔(−α)⊺X≥−k∀X∈Rn,X∈S⇔α⊺X≤k⇔−α⊺X≥−k⇔(−α)⊺X≥−k