凸集

本文介绍了凸集的概念及其性质,包括凸集的定义、几种典型凸集的例子、凸集的基本运算,还详细讨论了凸组合与凸集的极点等概念。此外,文中还阐述了超平面和半平面的概念及其性质。

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凸集(Convex Set)

对于线性空间 VV 中的任意一个集合 S,SS 满足:
α,βS,λ[0,1],λα+(1λ)βS
则称 SS 为凸集。

  1. S={XRnXXr},r>0S={X∈Rn∣X⊺X≤r},r>0
  2. S={XRnAX=β},ARm×n,βRmS={X∈Rn∣AX=β},A∈Rm×n,β∈Rm
  3. S={XRnAX=β,X0⃗ },ARm×n,βRmS={X∈Rn∣AX=β,X≥0→},A∈Rm×n,β∈Rm
  4. S={XRnAXβ,X0⃗ },ARm×n,βRmS={X∈Rn∣AX≤β,X≥0→},A∈Rm×n,β∈Rm
  5. S={XRnX=i=1mxiαi},xiR,xi0,i=1mxi=1,aiRnS={X∈Rn∣X=∑i=1mxiαi},xi∈R,xi≥0,∑i=1mxi=1,ai∈Rn
    证明: α,βS,∀α,β∈S, 存在集合
    {xiR|iN,xi0,1im},{yiR|iN,yi0,1im},{xi∈R|i∈N,xi≥0,1≤i≤m},{yi∈R|i∈N,yi≥0,1≤i≤m}, 使得
    α=i=1mxiαiβ=i=1myiαi,{α=∑i=1mxiαiβ=∑i=1myiαi,i=1mxi=1i=1myi=1,{∑i=1mxi=1∑i=1myi=1,
    λ[0,1],λα+(1λ)β=λi=1mxiαi+(1λ)i=1myiαi=i=1m(λxi+(1λ)yi)αi,∀λ∈[0,1],λα+(1−λ)β=λ∑i=1mxiαi+(1−λ)∑i=1myiαi=∑i=1m(λxi+(1−λ)yi)αi,
    i=1m(λxi+(1λ)yi)=λi=1mxi+(1λ)i=1myi=λ+(1λ)=1∑i=1m(λxi+(1−λ)yi)=λ∑i=1mxi+(1−λ)∑i=1myi=λ+(1−λ)=1
    λxi+(1λ)yi0,1im,λxi+(1−λ)yi≥0,1≤i≤m,
    因此 λα+(1λ)βSλα+(1−λ)β∈S

性质

对于线性空间 VV 中的任意两个凸集 S,T, 对于任意一个实数 kR,k∈R,
1. kSkS 也是凸集。
证明: α,βkS,X,YS,∀α,β∈kS,∃X,Y∈S, 使得 α=kX,β=kY,α=kX,β=kY,
λ[0,1],∀λ∈[0,1], 由于SS 是凸集,因此 λX+(1λ)YS, 于是
λα+(1λ)β=λ(kX)+(1λ)(kY)=k[λX+(1λ)Y]kSλα+(1−λ)β=λ(kX)+(1−λ)(kY)=k[λX+(1−λ)Y]∈kS
2. STS∩T 也是凸集。
证明: α,βST,α,βS,α,βT,∀α,β∈S∩T,α,β∈S,α,β∈T,
λ[0,1],∀λ∈[0,1], 由于S,TS,T 是凸集,因此 λα+(1λ)βS,λα+(1λ)βT,λα+(1−λ)β∈S,λα+(1−λ)β∈T, 于是
λα+(1λ)βSTλα+(1−λ)β∈S∩T
3. S+T={X+YXS,YT}S+T={X+Y∣X∈S,Y∈T} 也是凸集。
证明: α,βS+T,X1,X2S,Y1,Y2T,∀α,β∈S+T,∃X1,X2∈S,Y1,Y2∈T, 使得 α=X1+Y1,β=X2+Y2,α=X1+Y1,β=X2+Y2,
λ[0,1],∀λ∈[0,1], 由于S,TS,T 是凸集,因此 λX1+(1λ)X2S,λY1+(1λ)Y2T,λX1+(1−λ)X2∈S,λY1+(1−λ)Y2∈T, 于是
λα+(1λ)β=λ(X1+Y1)+(1λ)(X2+Y2)λα+(1−λ)β=λ(X1+Y1)+(1−λ)(X2+Y2)
=[λX1+(1λ)X2]+λ[Y1+(1λ)Y2]=[λX1+(1−λ)X2]+λ[Y1+(1−λ)Y2]
S+T∈S+T
4. ST={XYXS,YT}S−T={X−Y∣X∈S,Y∈T} 也是凸集。
证明: α,βST,X1,X2S,Y1,Y2T,∀α,β∈S−T,∃X1,X2∈S,Y1,Y2∈T, 使得 α=X1Y1,β=X2Y2,α=X1−Y1,β=X2−Y2,
λ[0,1],∀λ∈[0,1], 由于S,TS,T 是凸集,因此 λX1+(1λ)X2S,λY1+(1λ)Y2T,λX1+(1−λ)X2∈S,λY1+(1−λ)Y2∈T, 于是
λα+(1λ)β=λ(X1Y1)+(1λ)(X2Y2)λα+(1−λ)β=λ(X1−Y1)+(1−λ)(X2−Y2)
=[λX1+(1λ)X2][λY1+(1λ)Y2]=[λX1+(1−λ)X2]−[λY1+(1−λ)Y2]
ST∈S−T

凸组合(Convex Combination)

α,β,γV,∀α,β,γ∈V,λ[0,1],∃λ∈[0,1], 使得 γ=λα+(1λ)βγ=λα+(1−λ)β 则称向量 γγααββ 的凸组合。若 λ(0,1),λ∈(0,1), 则称 γγααββ 的严格(strict)凸组合。

凸集的极点(Extreme point)

对于凸集 SS 中的任意一个点 γ,γγ 不是 SS 中任意两个不同点严格凸组合,则称 αSS 的一个极点。
即: 若 α,βV,λ(0,1), 使得 γ=λα+(1λ)β,γ=λα+(1−λ)β,α=βα=β

超平面(Hyperplane)与半平面(Half-space)

αRn,α0⃗ ,kR,∀α∈Rn,α≠0→,k∈R, 称集合 {XRnαX=k}{X∈Rn∣α⊺X=k}超平面
称集合 {XRnαXk}{X∈Rn∣α⊺X≥k}半平面

性质

  1. 对于任意一个超平面 S={XRnαX=k},S={X∈Rn∣α⊺X=k},
    X0S,∀X0∈S, S={XRnα(XX0)=0}S={X∈Rn∣α⊺(X−X0)=0}
    证明: X0SX0∈SαX0=k,α⊺X0=k, 因此
    XRn,XSαX=kαX=αX0α(XX0)=0∀X∈Rn,X∈S⇔α⊺X=k⇔α⊺X=α⊺X0⇔α⊺(X−X0)=0
  2. 对于任意一个超平面 S={XRnαX=k},S={X∈Rn∣α⊺X=k},
    X0S,∀X0∈S, 半平面 S1={XRnαXk}={XRnα(XX0)0}S1={X∈Rn∣α⊺X≥k}={X∈Rn∣α⊺(X−X0)≥0}
    证明: X0SX0∈SαX0=k,α⊺X0=k, 因此
    XRn,XS1αXkαXαX0α(XX0)0∀X∈Rn,X∈S1⇔α⊺X≥k⇔α⊺X≥α⊺X0⇔α⊺(X−X0)≥0
  3. αRn,α0⃗ ,kR,∀α∈Rn,α≠0→,k∈R, S={XRnαXk}S={X∈Rn∣α⊺X≤k} 也为超平面。
    证明:XRn,XSαXkαXk(α)Xk∀X∈Rn,X∈S⇔α⊺X≤k⇔−α⊺X≥−k⇔(−α)⊺X≥−k
### 的数学定义 是指在一个欧几里得空间 \( R^n \) 中,对于任意两个属于该合中的点 \( x_1, x_2 \),以及任何实数 \( t \in [0, 1] \),满足以下条件: \[ tx_1 + (1-t)x_2 \text{ 属于该合} \] 这意味着连接这两个点之间的线段完全位于这个合内部[^3]。 ### 的图形表示 在二维平面上,如果一个区域内的每一对点都可以通过一条完全处于此区域内连线相连,则称这一区域为。例如,圆盘、正方形都是典型的例子;而像新月形状这样的区域则不是,因为可以找到某些点对使得它们间的连线部分超出该区域边界。 ### 关于的一些重要性质 - **水平特性**:由给定的一个非空 \( S \subseteq R^n \) 和在此合上定义的函数 \( f \),对于任何一个实数值 \( \alpha \),对应的水平 \( L_\alpha = \{x | x \in S, f(x) \leq \alpha\} \) 同样也是[^2]。 - **极小化问题**:当目标函数为函数且约束域为时,这类优化问题称为规划问题。这种情况下,局部最优解即为全局最优解,这极大地简化了许多实际应用中的求解过程[^4]。 ```python import matplotlib.pyplot as plt from shapely.geometry import Point from shapely.geometry.polygon import Polygon # 创建一个多边形实例代表一个简单 polygon = Polygon([(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)]) # 测试一些点是否在这个中 test_points = [(0.5, 0.5), (-0.1, 0.5)] results = ["Inside" if polygon.contains(Point(p)) else "Outside" for p in test_points] for point, result in zip(test_points, results): print(f"The point {point} is {result}.") ```
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