凸集的极锥（polars）

在支撑函数的专题中我们知道：设$f$是一个正常的凸函数，如果$f$是示性函数，那么它的共轭函数$f^*$是一个正齐次的凸函数，且如果$f$是正齐次的，那么$f^*$也是正齐次的。所以如果$f$是正齐次的示性函数，那么$f^*$也是正齐次的示性函数。
也就是说：如果$f(x)=\delta(x|K)$, 其中$K$是一个凸锥，那么$f^*(x^*)=\delta(x^*|K^。)$,$K^。$也是一个凸锥，叫做$K$的极锥：

$$K^。=\{x^*|\forall x,\langle x,x^*\rangle\leq\delta(x|K)\}=\{x^*|\forall x\in K,\langle x,x^*\rangle\leq0\}$$

由于$f^*=\delta(\cdot|K^。)$的共轭函数是$cl\,f=\delta(x|cl\,K)$,所以有$K^{。。}=cl\,K$
所以我们总结上面的结果如下：
定理1
设$K$是一个闭凸锥，那么$K$的极锥$K^。$也是一个闭凸锥，且有$K^{。。}=cl\,K$，另外$K$和$K^。$的示性函数互相共轭。

下面考虑一个具体的例子：
设$K$是由$\{a_i|i\in I\}$生成的凸锥，即$K$是$a_i$的非负系数的线性组合：

$$K=\{x\in R^n|x=\sum_{i\in I}\lambda_i a_i,\lambda_i\ge0,\forall i\in I\}$$ 那么，
$$K^。=\{x^*|\forall x\in K,\langle x,x^*\rangle\leq0\}=\{x^*|\forall i\in I,\langle a_i,x^*\rangle \leq0\}$$ 另外由上面的定理1，$K^{。。}=cl\,K$。
所以如果一个凸锥形如：
$$\{x^*|\forall i\in I,\langle a_i,x^*\rangle \leq0\}$$ 那么它的极锥就是由$\{a_i|i\in I\}$生成的凸锥的闭包。