向量范数的几何直观理解和等价定义——如何从几何上定义向量范数？

【一.向量范数的几何直观理解】
\quad我们知道，一个函数：$f:R^n\mapsto R$ 被称为$R^n$空间的一个范数,如果它满足以下三条性质：（以下以$\Vert \cdot \Vert$来代表这个函数）
\quad(1)正定性：$\Vert x\Vert \ge 0,\forall x\in R^n$，且：$\Vert x\Vert =0⟺x=0;$
\quad(2)齐次性：$\Vert cx\Vert =|c|\cdot \Vert x\Vert ,\forall x\in R^n,c\in R;$
\quad(3)三角不等式：$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert ,\forall x,y\in R^n;$

\quad接下来，我们将从几何角度理解范数：首先，在有一个范数的情况下，我们可以在$R^n$空间中画出一个单位球S≜{ x∣x∈Rn,∥x∥≤1}S\triangleq \{x|x\in R^n,\left\|x\right\|\leq1\}S≜{ x∣x∈Rn,∥x∥≤1}.为了有一个简单的直观理解，我们给出二维情形下，几个常见范数的单位球图像：

\quad这个单位球显然有以下几个性质：
\quad(1)关于原点对称，即$\forall x\in S,$均有$-x\in S;$
\quad