赋范线性空间

最新推荐文章于 2024-07-27 16:40:36 发布

原创

最新推荐文章于 2024-07-27 16:40:36 发布 · 2.4k 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

本文详细介绍了赋范线性空间的定义，包括向量范数的性质和例子。通过一系列的证明展示了范数满足的条件，如非负性、齐次性和三角不等式。同时，文中给出了不同类型的向量范数，如L_p范数，并证明了它们满足赋范线性空间的性质。此外，还探讨了方阵范数，并给出了范数的计算实例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

设 $\mathbb F = \mathbb R$ 或 $\mathbb C,$ $V$ 为数域 $\mathbb F$ 上的一个线性空间，如果 $V$ 上的一个实函数 $\Vert \cdot\Vert$ 满足：
$\forall \alpha \in V,$
$\Vert \alpha \Vert \ge 0, \text{且} \Vert \alpha \Vert = 0 \Leftrightarrow \alpha = \vec 0 \tag 1$
$\forall \alpha \in V, \forall k \in \mathbb F, \Vert k \alpha \Vert = \vert k \vert \Vert \alpha \Vert \tag 2$
$\forall \alpha, \beta \in V, \Vert \alpha + \beta \Vert \le \Vert \alpha \Vert + \Vert \beta \Vert \tag 3$
则称 $V$ 是一个赋范线性空间，称 $\Vert \alpha \Vert$ 是向量 $\alpha$ 的范数。

性质

$\alpha \neq 0,$ 则 $\Vert \dfrac {\alpha } {\Vert \alpha \Vert } \Vert = 1$

证明

$\Vert \dfrac {\alpha } {\Vert \alpha \Vert } \Vert = \dfrac {1} {\Vert \alpha \Vert } \Vert \alpha \Vert = 1$

向量范数举例

$\Vert \alpha \Vert _{\infty} = \lim \limits_{p \to +\infty} { \left ( \sum \limits _{i = 1} ^{n} \vert a_i \vert ^p \right ) }^ {1 / p} = \max \limits_{1 \le i \le n} \vert a_i \vert$
$\Vert \alpha \Vert _{1} = \sum \limits _{i = 1} ^{n} \vert a_i \vert$
$\Vert \alpha \Vert _{2} = { \left ( \sum \limits _{i = 1} ^{n} \vert a_i \vert ^2 \right ) }^ {1 / 2}$
$\Vert \alpha \Vert _{p} = { \left ( \sum \limits _{i = 1} ^{n} \vert a_i \vert ^p \right ) }^ {1 / p}, p \ge 1$

证明

显然这些范数都满足（1）。
$\Vert k \alpha \Vert _{\infty} = \max \limits_{1 \le i \le n} \vert k a_i \vert = \vert k \vert \max \limits_{1 \le i \le n} \vert a_i \vert= \vert k \vert \Vert \alpha \Vert _{\infty}$
∥kα∥p=