12、2D、3D和4D几何代数的深入剖析

2D、3D和4D几何代数的深入剖析

1. 复数、双数和对偶数的基础

在数学发展历程中，虚数大约在1540年首次出现，当时数学家Tartaglia和Cardano用共轭复数表示三次方程的实根。1798年，挪威测量员Caspar Wessel首次用平面上的点表示复数，该平面垂直轴为虚轴，水平轴为实轴，此图后来被称为Argand图。Gauss为复数命名，1835年Hamilton将其正式定义为实数对。

从广义上讲，平面上的复数可分为普通复数、双数和对偶数三种系统。一般地，复数可表示为 $a = b + ωc$，其中 $ω$ 为代数运算符。对于普通复数，$ω^2 = -1$；对于双数，$ω^2 = 1$；对于对偶数，$ω^2 = 0$。在对偶数中，$b$ 为实部，$c$ 为对偶部。

对于可微实函数 $f: R → R$，其对偶变量 $\alpha + ω\beta$（$\alpha, \beta \in R$）可通过泰勒级数展开。由于 $ω^2 = ω^3 = ω^4 = \cdots = 0$，函数可化简为：
[
f(\alpha + ω\beta) = f(\alpha) + ω f’(\alpha)\beta
]

以对偶数的指数函数为例：
[
e^{\alpha + ω\beta} = e^{\alpha} + ωe^{\alpha}\beta = e^{\alpha}(1 + ω\beta)
]

Clifford在论文中引入对偶数来表示螺旋运动，Study则用其表示空间中两条异面直线的相对位置，即 $\hat{\theta} = \theta + ωd$，其中 $\hat{\the