几何代数与张量计算核心问题解析

1、笛卡尔张量：新坐标系的旋转由 e′i = Rei ˜R = ∑i j e j 给出，其中 R 是一个旋量，∑i j 是由 ∑i j = (Rei ˜R) · e j 定义的旋转分量。由此可得 ∑i j ∑ik = (Rei ˜R) · e j(Rei ˜R) · ek = ( ˜Re j R) · ( ˜Rek R) = δ jk ，类似地 ∑ik ∑jk = δi j 。线性函数 F 的分量由 Fi j = ei · F(e j) 给出。向量 v 的分量为 vi = ei · v；在变换下，分量变为 v′i = e′i · v = ∑i j v j 。向量 F(v) 的分量由 ei · F(v) = ei · F(v je j) = Fi jv j 给出。基于这些方程，证明以下关系：i. 如果 F 和 G 是一对线性函数，验证 (FG)i j = FG(e j) · ei = G(e j) · F(ei) = G(e j) · ekek · F(ei) = FikGkj 。ii. 如果坐标系变换为新的旋转坐标系，秩为2的张量的分量变换由 F′ i j = ∑ik ∑jl Fkl 给出。

i. 首先，根据定义，

$$
(FG)_{ij} = FG(e_j) \cdot e_i
$$

因为 $ F $ 和 $ G $ 是线性函数，利用向量的完备性关系 $ e_k e_k = 1 $，则有：

$$
FG(e_j) \cdot e_i = G(e_j) \cdot F(e_i) = G(e_j) \cdot e_k e_k \cdot F(e_i)
$$

又因为：

$$
F_{ij} = e_i \cdot F(e_j)，\quad G_{kj} = e_k \cdot G(e_j)
$$

所以：

$$
G(e_j) \cdot e_k e_k \cdot F(e_i) = F_{ik} G_{kj}
$$

ii. 已知在新坐标系下，

$$
e’ i = \sum {i,k} e_k，\quad e’ j = \sum {j,l} e_l
$$

则有：

$$
F’ {ij} = e’_i \cdot F(e’_j) = \sum {i,k} e_k \cdot F\left(\sum_{j,l} e_l\right) = \sum_{i,k} \sum_{j,l} e_k \cdot F(e_l)
$$

而：

$$
F_{kl} = e_k \cdot F(e_l)
$$

所以：

$$
F’ {ij} = \sum {i,k} \sum_{j,l} F_{kl}
$$

2、在几何微积分中，给定一个场 F = P(F)，计算形状 S(F)、余散度和余旋度。

形状 S(F)：由公式
$$ \mathsf{S}(F) = \dot{\partial} \dot{P}(F) = \partial_u P^u(F) $$
计算。

余散度和余旋度 ：
余散度和余旋度通过对偶关系
$$ \nabla \cdot F = [\nabla \wedge (F I)] I^{-1} $$
相关，其中 $ I $ 是流形 $ M $ 的伪标量。

3、使用三个投影点的外积来证明辛普森法则。如果投影点p位于圆周上，那么这些投影点的外积为零。取三个任意位于单位圆周上的