14、几何代数在2D和3D空间运动学中的应用

几何代数在2D和3D空间运动学中的应用

1. 4D几何代数在3D运动学中的应用

1.1 直线的表示

在G4,1中，穿过两点的直线可表示为：
[
\begin{align }
L&=(x_1 - x_2)e_{23} + (y_1 - y_2)e_{31} + (z_1 - z_2)e_{12} + \cdots + (y_1z_2 - y_2z_1)e_{\infty1} + (x_2z_1 - x_1z_2)e_{\infty2} + (x_1y_2 - x_2y_1)e_{\infty3}\
&= I_e(x_e - y_e) + e_{\infty}(x_e \times y_e)\
&= p_{23}e_{23} + p_{31}e_{31} + p_{12}e_{12} + p_{\infty1}e_{\infty1} + p_{\infty2}e_{\infty2} + p_{\infty3}e_{\infty3} = n + m
\end{align }
]
其中，系数$p_{ij}$被称为普吕克坐标，$n$表示直线的方向，$m$表示直线的动量，$m$代表一个过原点且包含该直线的平面。由于点$X$和$Y$是齐次的，所以该直线也是一个射影实体，对应于$R^6$或5维射影空间$PR^5$中的一个点。对于非零标量$\alpha$，有$\alpha L = \alpha L$。

1.2 普吕克坐标的二次方程

由于$n \cdot m = 0$，我们可以得到关于普吕克坐标的二次方程：
[p_{23}p_{\inft