3、几何代数在几何计算与感知行动系统中的应用

几何代数在几何计算与感知行动系统中的应用

1. 几何代数的起源与基本概念

在几何发展历程中，笛卡尔引入坐标开启了几何代数化进程，这使得几何从定性描述转变为定性分析。然而，坐标本质上只是数字序列，自身并无几何意义。莱布尼茨曾梦想构建一个能直接处理几何对象而非数字序列的几何微积分系统。在这个系统中，表达式的元素应明确代表几何对象或用于代数运算（如加、减、乘、除）的变换算子。

以欧几里得平面几何中复数的运算为例，对于复数 (a, b \in C)，定义运算 (\overline{ab} := (a_1, a_2)(b_1, b_2) = (a_1b_1 - a_2b_2, a_1b_2 + a_2b_1))，该乘积在欧几里得群作用下不具有不变性，即其结果中的几何信息会受参考坐标系干扰。但如果将复数乘积改为 (\overline{ab} := (a_1, -a_2)(b_1, b_2) = (a_1b_1 + a_2b_2, a_1b_2 - a_2b_1))，在以原点为中心的任意旋转 (r : a \to ae^{i\theta}) 下，此乘积保持不变，即 (\overline{r(a)r(b)} := (\overline{a}e^{i\theta})(be^{i\theta}) = \overline{ab})。这表明，若为复数配备标量乘法、加法、减法和几何乘积，它们就从一个域转变为二维正交几何的二维几何代数。

随着几何空间维度增加和变换群的推广，实现所需的不变性会愈发困难。不过，借助几何代数框架，莱布尼茨的梦想在 (n) 维经典几何中得以实现。常见的无坐标几何代数框架包括：二维和三维欧几里得度量空间的几何代数、四维非欧几里得度量空间的几何代数，以及 (R^{n + 1,1}) 空