55、从混淆中构建多线性映射及陷门置换

从混淆中构建多线性映射及陷门置换

多线性映射相关问题

κ - MDDH 问题及游戏流程

在密码学中，κ - MDDH 问题是一个重要的研究对象。下面通过一系列游戏来逐步分析其安全性。
- Game0 ：这是 κ - MDDH 问题。使用 $x_i$ 和 $y_i$ 表示在采样器 $Sam_{I(i)}(a_i)$ 中生成的 $a_i$ 的表示向量，其中 $(i, I(i)) \in I$。
- Game1 - Gameκ ：逐步将 $[a_i] 1$（$i \in [κ]$）的表示形式转换为 $(a_i - ω, 1)$。每次转换可以通过 Switch 游戏进行边界界定。此时，$[a {κ + 1}] 1$ 的表示尚未改变。
- Gameκ + 1 ：引入概念性变化，$i \in [κ]$ 的 $a_i$ 生成为 $a_i + ω$。当 $b = 1$ 时，MDDH 挑战的指数为 $a {κ + 1} \cdot \prod_{i = 1}^{κ} (a_i + ω)$。此游戏为嵌入 (κ - 1) - SDDH 挑战并逐步随机化上述指数做准备。
- Gameκ + 2 ：将 $C_{Map}$ 切换为 $C_{Map}^ $。利用不可区分混淆和电路功能等价的事实来界定此次转换。此时，$ω$ 仅隐式已知。
- Gameκ + 3 ：在 $C_{Map}^ $ 和挑战指数的计算中，将 $[ω