53、从混淆技术构建多线性映射

从混淆技术构建多线性映射

1. 背景知识

1.1 安全参数与基本符号

安全参数用 $\lambda \in N$ 表示，所有算法默认以一元形式接收该参数。对于随机算法 $A$，用 $(y_1, \ldots) \leftarrow^{\$} A(x_1, \ldots ; r)$ 表示使用新鲜随机数 $r$ 运行 $A$ 并将输出赋值给 $y_1, \ldots$；对于有限集 $X$，$x \leftarrow^{\$} X$ 表示从 $X$ 中均匀随机采样一个元素 $x$。向量用粗体 $\mathbf{x}$ 表示，对向量元素运行算法表示按分量操作。实值函数 $\mu(\lambda)$ 若满足 $\mu(\lambda) \in O(\lambda^{-\omega(1)})$ 则为可忽略函数，所有可忽略函数的集合记为 $Negl$。

1.2 同态公钥加密

方案 $\Pi := (Gen, Enc, Dec, Eval)$ 表示一个同态公钥加密（HPKE），消息空间为 ${0, 1}^{\lambda}$，其中 $Eval$ 是确定性算法。要求 $\Pi$ 满足 IND - CPA 安全性、完美正确性和紧凑性，且假设私钥是密钥生成时使用的随机数，以便检查密钥对的有效性。

1.3 混淆器

算法 $Obf$ 是电路类 $C = {C_{\lambda}} {\lambda \in N}$ 的混淆器，需满足对于任意 $m \in {0, 1}^{\lambda}$，$C \in C {\lambda}$，以及 $C \leftarrow^{\$} Obf(C)$，有 $C(m) = C(m