50、可重构加密：实现长期安全的灵活方法

可重构加密：实现长期安全的灵活方法

1. 可穿刺伪随机函数族

可穿刺伪随机函数族（Puncturable Family of PRFs）是密码学中的一个重要概念。其核心思想是通过对密钥进行处理，排除伪随机函数（PRF）定义域中的特定子集。具体来说，给定一个密钥 $K$，可以导出一个新的密钥 $K_S$，使得对于子集 $S \subset {0, 1}^{n(\ell)}$ 中的元素 $x$，$F_{K_S}(x)$ 无定义，而对于 $x \notin S$，$F_{K_S}(x) = F_K(x)$。

一个可穿刺的 PRF 族 $F$ 由三个概率多项式时间（PPT）算法 $Gen_F$、$Puncture_F$ 和 $Eval_F$，以及一对可计算函数 $(n(\cdot), p(\cdot))$ 组成，需满足以下条件：
- 对于任意 $S \subset {0, 1}^{n(\ell)}$ 和所有 $x \in {0, 1}^{n(\ell)}$ 且 $x \notin S$，有：
$Pr[Eval_F(K, x) = Eval_F(K_S, x) : K \leftarrow Gen_F(1^{\ell}), K_S \leftarrow Puncture_F(K, S)] = 1$
- 对于任何 PPT 敌手 $A$，其输出一个集合 $S \subset {0, 1}^{n(\ell)}$ 和一个状态 $state$，考虑实验 $K \leftarrow Gen_F(1^{\ell})$ 且 $K_S = Puncture_F(K, S)$。敌手 $A$ 的优势 $Adv_{F,A}^{pprf}(\ell)$ 定义为：
$Pr[1 \leftarrow