38、多导体线路的时域分析与结果验证

多导体线路的时域分析与结果验证

1. 多导体线路时域分析的数学基础

在多导体线路的时域分析中，有如下关键公式：
$\beta_k = \sum_{j=1}^{M} F(s_j) \varphi_k(s_j)$ ，此公式可写成矩阵形式：$(A^TA)X = A^TB$ ，其中 $t$ 表示转置，$A$、$X$ 和 $B$ 的元素由相关公式给出。这里的 $(A^TA)X = A^TB$ 是关于 $K$ 个未知展开系数 $a_i$ 的 $K$ 个方程。为避免舍入误差，推荐使用奇异值分解（SVD）方法来求解该方程。

对于形如 $(9.142)$ 的方程，其形式与 $(9.147)$ 一致，其中 $K \Rightarrow (2N + 1)$ 的 $\varphi_i(s_j)$ 为：
$\varphi_i(s_j) = 1, \frac{1}{s_j - \tilde{p}_i}, \cdots, \frac{1}{s_j - \tilde{p}_i}, -\frac{F(s_j)}{s_j - \tilde{p}_i}, \cdots, -\frac{F(s_j)}{s_j - \tilde{p}_i}$

$K \Rightarrow (2N + 1)$ 的 $a_i$ 为：$c_0, c_1, \cdots, c_N, \tilde{c}_1, \cdots, \tilde{c}_N$

并且 $A$ 是 $M \times (2N + 1)$ 矩阵，$X$ 是 $(2N + 1) \times 1$ 矩阵，$B$ 是 $M \times 1$ 矩阵。最小二乘法得到的方程 $(A^TA)X = A^TB$ 是关于 $(9.152b)$ 中 $2N +