6、离散时间下的更新过程与特殊分布解析

离散时间下的更新过程与特殊分布解析

在离散时间的系统建模中，更新过程以及特殊的到达和服务过程分布是非常重要的概念，它们对于理解系统的性能和行为起着关键作用。下面我们将详细介绍这些内容。

1. 更新过程

更新过程是基于独立随机变量 (X_1, X_2, \cdots) 构建的。由于这些变量相互独立，我们可以通过卷积和来得到 (Y_n) 的分布，具体公式如下：
[Pr{Y_n} = Pr{X_1 * X_2 * \cdots * X_n}]
设 (q_{j}^{(n)} = Pr{Y_n = j}) 以及 (q_{n}^ (z) = \sum_{j = 1}^{\infty} q_{j}^{(n)} z^j)，其中 (|z| \leq 1)，则有：
[q_{n}^ (z) = p_{1}^ (z)p_{2}^ (z) \cdots p_{n}^*(z)]

示例 ：
当计算 (Pr{Y_2 = j}) 时，公式为：
[Pr{Y_2 = j} = \sum_{v = 1}^{j - 1} Pr{X_1 = v}Pr{X_2 = j - v}]
若 (X_1 = X_2 = X)，则 (p_{1}^ (z) = p_{2}^ (z) = p^ (z))，进而 (q_{2}^ (z) = (p^ (z))^2)。
假设 (p_1 = 0.1)，(p_2 = 0.3)，(p_3 = 0.6)，(p_j = 0)（(j \geq 4)），那么：
(p^ (z) = 0.1z +