7、离散时间下的特殊到达与服务过程解析

离散时间下的特殊到达与服务过程解析

1. 离散时间下的特殊过程概述

在离散时间的系统中，特殊的到达和服务过程有着重要的研究价值。对于相位类型（PH）的相关度量，很多都能轻松推导到修正相位类型（IPH）上。不过，在很多情况下需要谨慎处理。例如，$I - T$ 的逆可能不唯一，所以要根据具体情况进行恰当定义。而且，计算某些参数时，有时需要根据矩阵 $T$ 的结构采用特殊技巧，像 Shi 等人在 1996 年提出的矩形迭代法就用于此类计算。

2. 一般事件间隔时间

除了相位类型分布外，一般类型的分布也可用于描述到达间隔时间和服务时间。在连续时间里，排队系统中遇到的一般分布可用连续时间 PH 分布近似，离散分布也是如此。并且，如果离散分布的支撑集是有限的，它就能用离散 PH 精确表示。

2.1 剩余时间表示法

考虑一个维度为 $n_t$ 的 PH 分布 $(\alpha, T)$，令：
- $\alpha = [a_1, a_2, \cdots, a_{n_t}]$
- $T_{i,j} =
\begin{cases}
1, & j = i - 1 \
0, & 其他
\end{cases}$

则该 PH 分布为 $\alpha T^{k - 1}t = a_k$，其中 $k = 1, 2, \cdots, n_t$。即使支撑集不是有限的，也可通过让 $n_t \to \infty$，用 IPH 表示一般事件间隔时间。例如，事件间隔时间 $A$ 取值于集合 ${1, 2, 3, \cdots}$，$a_i = Pr{A = i}$，$i = 1,