13、切比雪夫张量与金融风险计算中的近似方法

切比雪夫张量与金融风险计算中的近似方法

1. 切比雪夫张量与机器学习

1.1 机器学习回归模型

机器学习方法中，回归模型是常见类型。它由一族函数构成，通常由一组权重 𝑤 参数化，用于学习数据集 𝒟 = {X, Y} 的模式。其中，X 是 ℝk（k > 0）中的数据点集合，Y 通常是标量值的数据点集合，且 X 中的每个数据点 x 都有 Y 中唯一对应的值 y，反之亦然。

训练回归模型就是找到一组权重 𝑤，使得对于 X 中的每个点 x，函数 f𝑤 返回的值 ̂y = f𝑤(x) 接近 𝒟 中 x 对应的 y 值。若对于不在训练集 𝒟 中的数据点 (x, y)，̂y = f𝑤(x) 也接近 y，则称该训练具有良好的泛化性。

1.2 深度神经网络（DNNs）

DNNs 是一种机器学习算法，用于近似函数 f。通过在函数 f 的定义域上采样，模型从中学习经验，目标是预测 f 在其定义域内任意点的值。DNNs 的一个特点是，接触函数 f 的值越多，其预测任务的表现越好。

一个被广泛接受的机器学习模型定义是：“如果一个计算机程序在任务 T 上的表现（由性能度量 P 衡量）随着经验 E 的增加而提高，那么就说它从经验 E 中学习了关于任务 T 和性能度量 P 的知识”。DNNs 显然满足这个定义。如今，像 Tensorflow 和 PyTorch 等计算机程序已实现了使用 DNNs 进行计算的指令。

1.3 切比雪夫张量（CTs）作为机器学习方法

CTs 与 DNNs 有相似之处。CTs 的经验 E 同样来自对函数 f 的采样，不过是在特定的切比雪夫点进行采样。其任