44、切比雪夫样条与信用估值调整计算的计算节省策略

切比雪夫样条与信用估值调整计算的计算节省策略

1. 切比雪夫样条在无奇异点函数中的应用

在许多计算场景中，减少对给定函数的调用次数是一个关键需求。例如，信用估值调整（CCR）风险计算常常需要调用定价函数数十万甚至数百万次。切比雪夫张量（CT）在这类计算中的一个主要优势在于，通过较少的函数调用次数就能达到较高的精度。

然而，有时还需要进一步减少函数调用次数，这时切比雪夫样条就派上了用场。通过在近似域中引入节点来构建切比雪夫样条，可以进一步减少函数调用次数。

以布莱克 - 斯科尔斯定价函数在到期时间较短的情况下为例。随着到期时间的缩短，布莱克 - 斯科尔斯定价函数在执行价格附近的曲率会变得更加明显。如果在到期时间超过一年时，通常沿期权标的维度需要 10 个切比雪夫点才能达到 10⁻⁴ 的精度，那么当到期时间缩短到只有几天时，可能需要大幅增加切比雪夫点的数量。尽管在到期前几天，布莱克 - 斯科尔斯函数仍然是解析的，切比雪夫张量会呈指数收敛，但收敛速度比期权还有一年到期时要慢。因此，当期权接近到期时，可能需要 100 个切比雪夫点才能达到相同的精度，这就凸显了进一步减少函数调用次数的必要性。

为了进行说明，除了一个变量（即现货价格）外，其他所有变量都保持固定，从而得到一个一维函数进行近似。构建了两个近似对象：
- 第一个是全局或单一的切比雪夫张量（CT）。
- 第二个是由三个切比雪夫插值组成的样条，这意味着指定了两个节点。节点的位置根据函数的特性来选择。由于布莱克 - 斯科尔斯函数的大部分曲率集中在执行价格处，因此一个节点放置在执行价格之前，另一个放置在执行价格之后，这样可以将该区域隔离出来，用较少的点对函数的这部分进行高精度的切比雪夫插值。而函数