37、隐含波动率函数的近似计算方法解析

隐含波动率函数的近似计算方法解析

1. 验证点位置的加速方法

在计算过程中，每次使用代理函数时，都需要确定调用哪个 CT（Chebyshev Tensor，切比雪夫张量）。这通过判断 $c < c_1$、$c_1 < c < c_2$ 或 $c_2 < c$ 来实现。若计算 $c_1$、$c_2$ 的速度较慢，会增加代理函数评估的开销。为加快验证给定点 $(x, c)$ 在近似域内位置的过程，可使用一维 CT 近似由公式定义的边界区域。例如，$c_1(x)$ 由 $c(x, v_1(x))$ 定义，它是解析的，能用一维 CT 高效近似，不仅精度高，还能高效完成如 $c_1(x) < c$ 和 $c < c_1(x)$ 等测试，以确定点 $(x, c)$ 所在的区域 $D_i$。

2. 时间尺度隐含波动率的缩放

CT 对解析函数的收敛速度接近指数级，这在实践中是较高的收敛速度，通过在少量点上评估函数可实现高精度。不过，若函数定义域接近奇点，收敛速度虽仍接近指数级，但会比远离奇点时慢。时间尺度隐含波动率函数在特定定义域内对 CT 是个挑战，虽用 CT 近似仍是现有方法中最有效的，但可通过将近似域划分为能更高效构建 CT 的区域，使近似更高效。该函数复杂行为集中在低波动率和高波动率两个区域，通过精心选择的变换，可将这些区域函数的陡峭性转变为近似线性，从而使 CT 能轻松近似，减少达到高精度所需的切比雪夫点数。

2.1 不同区域的处理

• 低波动率区域 $D_1$ 和 $D_1’$ ：$v(x, c)$ 在这些区域接近奇点 0，$c_{min}$ 选择需大于