12、切比雪夫张量：函数逼近与导数计算的高效工具

切比雪夫张量：函数逼近与导数计算的高效工具

1. 数值稳定性示例

在函数逼近中，选择合适的算法至关重要。以函数 $cos(30x)$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的逼近为例，切比雪夫张量（CT）和插值法通常能很好地逼近这类函数。但不同的评估算法会产生截然不同的结果。

使用重心插值公式评估 CT 时，误差曲线的衰减符合理论预测，对于像 $cos(30x)$ 这样的整函数，其收敛速度甚至快于指数级。而使用基于范德蒙德矩阵求解线性方程组的常用算法来评估多项式插值时，该算法呈指数级病态，这使得许多数值分析师对多项式插值作为逼近器持怀疑态度。实际上，使用正确的算法（如重心插值公式）可以解决这些数值问题。

算法	特点
重心插值公式	误差衰减符合理论，收敛快
范德蒙德矩阵算法	指数级病态

2. 导数逼近

一般来说，一个函数的逼近器的导数并不一定能很好地逼近原函数的导数。例如，样条插值在逼近连续函数时可能有不错的精度，但样条的导数对原函数导数的逼近效果往往很差，深度神经网络（DNN）也存在类似问题。

2.1 切比雪夫导数的收敛性

当函数 $f$ 是解析函数时，切比雪夫张量及其对应的插值函数会指数级收敛到 $f$。切比雪夫插值函数的导数也具有特殊的逼近性质，在相同条