18、金融风险计算中的近似方法与混合解决方案

金融风险计算中的近似方法与混合解决方案

在金融领域的风险计算中，准确且高效地评估各种风险因素对定价函数的影响至关重要。然而，高维度和复杂的函数特征往往给计算带来巨大挑战。本文将介绍一些用于解决这些问题的技术，包括雅可比投影技术、深度神经网络（DNNs）和切比雪夫张量（CTs），以及如何将它们组合成混合解决方案。

1. 雅可比投影技术基础

在金融风险计算中，常常会遇到市场空间维度远大于模型空间维度的情况。例如，假设互换利率曲线由单因子 HW 模型生成，用参数化函数 $g$ 来描述从模型空间到市场空间的映射。在一个例子中，$g$ 从 $\mathbb{R}^1$ 映射到 $\mathbb{R}^{20}$，一般情况下，$g$ 从 $\mathbb{R}^k$ 映射到 $\mathbb{R}^n$，其中 $k < n$。

1.1 $g$ 及其导数 $dg$ 的直观理解

• $g$ 的作用 ：$g$ 描述了模型空间如何在市场空间中导航。以单因子 HW 模型为例，$g$ 定义了短期利率在互换利率空间内的路径。
• $dg$ 的性质 ：由于 $g$ 是光滑的，可以求其导数 $dg$。在每一点 $r \in \mathcal{R}$（$g$ 的定义域），$dg_r$ 是一个从 $\mathbb{R}^k$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的线性变换，由雅可比矩阵表示，该矩阵由 $g$ 关于所有输入的偏导数组成。而且，$g$ 的光滑性意味着这些线性变换是单射的，即 $dg_r$ 的像的维度与定义域的维度相同。

1.2 导数