20、混合深度神经网络与切比雪夫张量框架：金融计算的高效解决方案

混合深度神经网络与切比雪夫张量框架：金融计算的高效解决方案

1. 可分解函数与等值面

可分解函数在数学和金融领域都有着重要的应用。若函数$f$的形式为$f(x_1, x_2) = x_1^4 + x_2^4 + 2x_1^2x_2^2 - x_1^2 - x_2^2 + 1 + \varepsilon(x)$，其中$\varepsilon$表示小扰动，那么特定的因式分解可作为$f$的近似。当函数可分解时，存在超曲面使得$f$取恒定值，这些超曲面被称为等值面。例如，对于某些函数，等值面是以原点为中心的同心圆。

在金融领域，可分解函数十分常见。多数情况下，驱动价格变化的风险主要由少数特征主导，如收益率曲线的平行移动或旋转，而非收益率曲线中每个元素的单独变化。

2. 静态训练集的DNN + CT架构

假设存在一个包含$m$个样本的训练集$\mathcal{D} = { X, Y} = { x_i, y_i}_{i = 1}^m$，特征向量$x$是$n_0$维的，目标变量$y$是标量。我们的目标是用混合神经网络（hNN）架构$f$来复制连接输入与目标值的函数$\hat{f}$，即$y_i = \hat{f}(x_i)$。

hNN由两部分组成：
- 第一部分是具有$l$层的深度神经网络（DNN），最后一层的神经元数量$n_l > 1$，用函数$a = f_1(x)$表示，其中$a$是$n_l$维向量。
- 第二部分是插值框架，用$\tilde{y} = f_2(a)$表示。因此，$f$可分解为$f = f_2 \circ f_1$。

$f_1$将训练集中的每个样本转换为点$a_i = f_1(x_i)