10、函数逼近中的切比雪夫张量与插值方法

函数逼近中的切比雪夫张量与插值方法

1. 多项式插值的误解与切比雪夫点的引入

在函数逼近领域，20 世纪后半叶的一些观点对多项式插值的使用提出了警告。例如，有人认为多项式插值很少收敛到一般的连续函数，并且从数值稳定性的角度来看，插值是一个出了名的棘手问题。然而，这些观点具有误导性，尤其是对于实际中常见的函数。实际上，在精心选择的点上进行插值，能使多项式插值在大多数实际情况下变得稳定且高效，而这背后的关键在于重心插值公式。

切比雪夫点在后续所考虑的张量和相关多项式插值中起着关键作用。切比雪夫点的定义如下：
设 ${z_j}_{j = 0}^{2n - 1}$ 是单位圆上的 $2n$ 个等距点，即 $2n$ 次单位根，满足方程 $z = z^{2n}$，具体表示为 $z_j = \exp(\frac{j\pi i}{n}) = \cos\frac{j\pi}{n} + i\sin\frac{j\pi}{n}$，其中 $j = 0, 1, \cdots, 2n - 1$。与自然数 $n$ 相关的切比雪夫点是 $z_j$ 的实部，即 $x_j = \text{Re}(z_j) = \frac{1}{2}(z_j + z_j^{-1})$，等价地可定义为 $x_j = \cos(\frac{j\pi}{n})$，其中 $0 \leq j \leq n$。这些点是将单位圆上半部分的等距点投影到实轴上得到的。

切比雪夫点最初定义在区间 $[-1, 1]$ 上，但可以通过线性变换和翻译将其扩展到任何区间 $[a, b]$。对于高维情况，设 $A$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的超矩形，定义为一维闭有界区间 $I_i$ 的笛卡尔积 $A = I_1 \times \cdots \