6、离散时间傅里叶分析详解

离散时间傅里叶分析详解

1. 离散时间傅里叶变换基础

线性时不变系统可通过其对单位样本序列的响应来表示，这个响应即单位脉冲响应 $h(n)$，借助线性卷积，我们能计算系统对任意输入 $x(n)$ 的响应：$x(n) \to h(n) \to y(n) = h(n) * x(n)$。这一卷积表示基于任意信号都能由缩放和平移后的单位样本线性组合而成。同样，任意离散信号也可表示为基础信号的线性组合，而离散时间傅里叶变换就是基于复指数信号集 ${e^{j\omega n}}$ 的一种极为有用的信号表示方法。

若序列 $x(n)$ 绝对可和，即 $\sum_{-\infty}^{\infty}|x(n)| < \infty$，则其离散时间傅里叶变换（DTFT）定义为：
$X(e^{j\omega}) \triangleq F[x(n)] = \sum_{n = -\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}$

其逆离散时间傅里叶变换（IDTFT）为：
$x(n) \triangleq F^{-1}[X(e^{j\omega})] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega$

下面通过具体例子来加深理解：
- 例 1 ：求 $x(n) = (0.5)^n u(n)$ 的 DTFT。
由于该序列绝对可和，其 DTFT 存在。计算过程如下：
$X(e^{j\omega}) = \sum_{-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n} = \su