12、椭圆曲线离散对数问题中的提升方法解析

椭圆曲线离散对数问题中的提升方法解析

1. 离散对数计算与模提升

在椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）中，通过计算可得 $\frac{\log_f E([83]T )}{\log_f E([83]S)} = \frac{11 \cdot 257}{24 \cdot 257} \equiv 54 \pmod{257}$，从而得出离散对数 $m = 54$，使得 $t = ms$。当 $p = 257$ 时，找到合适的 $u$ 值并不困难，但当 $p$ 为较大质数（如 $p \approx 2^{160}$）时，目前尚无高效算法能选出满足 $T = mS \pmod{p^2}$ 的 “正确” $u$ 值。

不过，存在两种可进行模 $p^2$ 提升的情况：
- 当提升到的点 $S$ 和 $T$ 在模 $p^2$ 下的阶与 $s$ 和 $t$ 在模 $p$ 下的阶相同时，但在此情况下，将 $S$ 和 $T$ 乘以 $n$ 可能无法得到有用信息。
- 当 $n = #E(F_p) = p$ 时，这类椭圆曲线被称为异常曲线。此时 $s$ 和 $t$ 阶为 $p$，若将它们提升到模 $p^2$ 下的点 $S$ 和 $T$ 且 $S$ 和 $T$ 阶不为 $p$，则 $[p]S$ 和 $[p]T$ 自动满足 $T = [m]S \pmod{p^2}$。这是因为若 $S’$ 和 $T’$ 是其他提升点，$S - S’$ 和 $T - T’$ 在形式群中，所以 $ p \equiv O \pmod{p^2}$。由于异常曲线的这些特性