30、数论中的二项式与斯特林数相关的丢番图结果

数论中的二项式与斯特林数相关的丢番图结果

在数学的数论和组合学领域，丢番图方程的研究一直是一个重要的课题。本文将深入探讨与帕斯卡三角形和斯特林三角形相关的丢番图问题，包括数字出现次数的界限、相等值的情况以及相关的丢番图方程。

1. 帕斯卡三角形中数字出现次数的界限

每个二项式系数都可以写成 $\binom{i + j}{j}$ 的形式。为了在帕斯卡三角形中定位数字 $a$，我们需要找到满足 $\binom{i + j}{j}=a$ 的 $i$ 和 $j$。由于某个定义（这里设为与 $b$ 相关），$i$ 和 $j$ 不能同时大于 $b$，所以方程 $\binom{i + j}{j}=a$ 最多有 $2b$ 个解，即 $N(a) \leq 2b$。

为了用 $a$ 来表示 $N(a)$，我们注意到 $\binom{2b}{b} \geq 2^b$（$b \geq 0$）。由此可得 $a \geq \binom{2(b - 1)}{b - 1} \geq 2^{b - 1}$，进而推出 $b \leq 1 + \log_2(a)$。所以，$N(a) \leq 2b = 2 + 2\log_2(a)$，这一证明由 D. Singmaster 给出。

随后，人们找到了更好的关于 $N(a)$ 的界限。目前已知的最佳界限是 $N(a) = O\left(\frac{(\log a)(\log \log \log a)}{(\log \log a)^3}\right)$。甚至有人猜想对于所有 $a > 1$，$N(a)$ 是有限的，即 $N(a) = O(1)$，这就是 1971 年提出的 Singmaster 猜想。

在帕斯卡三角形中，有一些数字作为两个或三个二项式系数的公共值非平凡地出现。例如：
- $\binom{16}{2} = \binom{10}{3} = 120$
- $\binom{56}{2} = \binom{22}{3} = 1540$
- $\binom{153}{2} = \binom{19}{5} = 11628$
- $\binom{221}{2} = \binom{17}{8} = 24310$
- $\binom{21}{2} = \binom{10}{4} = 210$
- $\binom{120}{2} = \binom{36}{3} = 7140$

这些数字在帕斯卡三角形中出现六次。而数字 3003 因为 $\binom{78}{2} = \binom{15}{5} = \binom{14}{6} = 3003$，出现了八次。目前在 $\binom{n}{k} \leq 10^{60}$ 的范围内，还没有发现出现次数更多的例子，这引发了一个问题：是否对于所有 $a \geq 2$，都有 $N(a) \leq 8$？

2. 帕斯卡三角形中的相等值问题

方程 $\binom{n}{k} = \binom{m}{l}$ 不仅与帕斯卡三角形中数字的出现次数相关，其本身也具有重要的研究价值。然而，求解这个方程非常困难，目前仅在 $(k, l) \in {(2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (4, 6), (4, 8)}$ 这些情况下得到了完整的解。

以 $\binom{n}{3} = \binom{m}{4}$ 为例，将其化简后得到 $\frac{n(n - 1)(n - 2)}{6} = \frac{m(m - 1)(m - 2)(m - 3)}{24}$。通过引入新变量 $x = n - 1$ 和 $y = \frac{m(m - 3)}{2}$，方程可转化为更简单的丢番图方程 $x^3 - x = y^2 + y$，即 $(x - 1)x(x + 1) = y(y + 1)$。这意味着求解这个方程实际上是在寻找同时可以表示为两个连续整数之积和三个连续整数之积的数字。该问题在 1963 年由 Mordell 解决，他的证明运用了代数数论的知识。

3. 斯特林三角形中数字的分布

接下来我们转向斯特林三角形，研究与帕斯卡三角形类似的问题，即数字的出现次数和重复值的情况。

3.1 第二类斯特林三角形

我们要为第一类和第二类斯特林数三角形中数字的出现次数 $M_1(a)$ 和 $M_2(a)$ 给出界限。这里详细阐述第二类斯特林数的情况。

首先，序列 $\left{\begin{array}{c}i + j\i\end{array}\right}$ 在 $i$ 和 $j$ 上都是单调递增的，并且第二类斯特林数的中心序列 $\left{\begin{array}{c}2n\n\end{array}\right}$ 是严格递增的。这可以通过递推公式 $\left{\begin{array}{c}n\k\end{array}\right} = \left{\begin{array}{c}n - 1\k - 1\end{array}\right} + k\left{\begin{array}{c}n - 1\k\end{array}\right}$ 来证明。

为了证明对于所有 $a \geq 2$，有 $M_2(a) \leq 2 + 2\frac{\log a}{W\left(\frac{1}{2}\log a\right)}$，当 $a$ 趋于无穷时，$M_2(a) = O\left(\frac{\log a}{\log \log a - \log \log \log a}\right)$。我们固定一个整数 $a > 1$，根据斯特林数的单调性，存在一个唯一的最小整数 $b$ 使得 $\left{\begin{array}{c}2b\b\end{array}\right} > a$。方程 $\left{\begin{array}{c}i + j\j\end{array}\right} = a$ 对于固定的 $j$ 最多有一个解 $i$。由于 $b$ 的定义，$i$ 和 $j$ 不能同时大于等于 $b$，所以方程 $\left{\begin{array}{c}i + j\j\end{array}\right} = a$ 最多有 $2b$ 个解，即 $M_2(a) \leq 2b$。

通过对斯特林数的一些不等式估计，如 $\left{\begin{array}{c}2b\b\end{array}\right} \geq 2^{\binom{2b}{b}}$，以及利用 Lambert W 函数，我们可以得到 $b \leq 1 + \frac{\log a}{W\left(\frac{1}{2}\log a\right)}$，从而证明了上述关于 $M_2(a)$ 的界限。

3.2 第一类斯特林三角形

对于第一类斯特林三角形，同样可以进行类似的分析。序列 $\left[\begin{array}{c}i + j\i\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{c}2n\n\end{array}\right]$ 的单调性可以很容易地证明。并且，我们也有类似的不等式 $\left[\begin{array}{c}n\n - k\end{array}\right] = \sum_{j = 0}^{k}\left[\begin{array}{c}k + j\j\end{array}\right] \geq 2\binom{n}{k + j}$（$n \geq k + 1$）。

因此，对于所有 $a \geq 2$，有 $M_1(a) \leq 2 + 2\frac{\log a}{W\left(\frac{1}{2}\log a\right)}$，当 $a$ 趋于无穷时，$M_1(a) = O\left(\frac{\log a}{\log \log a - \log \log \log a}\right)$。

4. 斯特林三角形中的相等值及相关丢番图方程

虽然 $M_i(a)$ 似乎是次对数的，但它们很可能是有界函数。通过数值计算发现，在 $2 \leq a \leq 100000$ 的范围内，$M_2(a) \leq 2$。出现两次的数字有 15、4095 和 66066，具体情况如下：
- $\left{\begin{array}{c}5\2\end{array}\right} = \left{\begin{array}{c}6\5\end{array}\right} = 15$
- $\left{\begin{array}{c}13\2\end{array}\right} = \left{\begin{array}{c}91\90\end{array}\right} = 4095$
- $\left{\begin{array}{c}14\11\end{array}\right} = \left{\begin{array}{c}364\363\end{array}\right} = 66066$

这引发了一些有趣的丢番图方程。

4.1 拉马努金 - 纳格尔方程

斯特林数 $\left{\begin{array}{c}n\2\end{array}\right} = 2^{n - 1} - 1$ 和 $\left{\begin{array}{c}n\n - 1\end{array}\right} = \binom{n}{2} = \frac{n(n - 1)}{2}$。数字 15 和 4095 既是梅森数（形如 $2^n - 1$）又是三角数（形如 $\frac{n(n - 1)}{2}$），它们是丢番图方程 $2^n - 1 = \frac{m(m - 1)}{2}$ 的解，这个方程被称为拉马努金 - 纳格尔方程。拉马努金在 1913 年猜想这个方程只有五个正整数解：0、1、3、15 和 4095，该猜想在 1948 年由纳格尔证明。

4.2 关于 $\left{\begin{array}{c}n\n - 3\end{array}\right} = \left{\begin{array}{c}m\m - 1\end{array}\right}$ 的丢番图方程

数字 66066 是方程 $\left{\begin{array}{c}n\n - 3\end{array}\right} = \left{\begin{array}{c}m\m - 1\end{array}\right}$ 的解，其中 $(n, m) = (14, 364)$。由于 $\left{\begin{array}{c}n\n - 3\end{array}\right} = \binom{n}{4} + 10\binom{n}{5} + 15\binom{n}{6}$，该方程可转化为 $\binom{n}{4} + 10\binom{n}{5} + 15\binom{n}{6} = \binom{m}{2}$，最近有相关研究对其进行了探讨。

4.3 涉及阶乘和三角数的丢番图方程

在第一类斯特林三角形中，除了 1 之外，只有 6 和 120 出现了多次。因为 $\left[\begin{array}{c}n\1\end{array}\right] = (n - 1)!$ 和 $\left[\begin{array}{c}n\n - 1\end{array}\right] = \binom{n}{2}$，所以 6 和 120 是方程 $n! = \frac{m(m - 1)}{2}$ 的解。该方程等价于 $m = \frac{1 + \sqrt{8n! + 1}}{2}$，求解这个方程相当于找到使得 $8n! + 1$ 为完全平方数的 $n$。通过计算机计算，在 $n$ 小于 1000 的范围内，除了 1、3、5 之外没有其他解。

4.4 克拉扎尔 - 卢卡定理

在研究相等值时，我们还可以问在三角形的某一行中何时会出现相等的值。对于帕斯卡三角形，由于对称性 $\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$，非峰值的数字会出现两次（当 $n > 2$），并且根据严格对数凹性，其他数字不会与这些相等。

对于斯特林三角形，虽然没有这种对称性，但仍然可能存在 $k_1$ 和 $k_2$ 使得 $\left[\begin{array}{c}n\k_1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}n\k_2\end{array}\right]$ 或 $\left{\begin{array}{c}n\k_1\end{array}\right} = \left{\begin{array}{c}n\k_2\end{array}\right}$。克拉扎尔和卢卡研究了更一般的问题：对于整数 $c$ 和 $1 < k_1 < k_2 < n$，$\left{\begin{array}{c}n\k_2\end{array}\right} = c\left{\begin{array}{c}n\k_1\end{array}\right}$ 何时成立。他们证明了这样的等式只在有限个 $n$ 时成立。

证明克拉扎尔 - 卢卡定理需要用到 Corvaja 和 Zannier 的一个结果以及伯特兰假设。假设 $\left{\begin{array}{c}n\k_2\end{array}\right} = c\left{\begin{array}{c}n\k_1\end{array}\right}$ 对于无限个 $n$ 成立，根据 Corvaja - Zannier 结果，存在一个非零的幂和 $\gamma$ 使得 $\left{\begin{array}{c}n\k_2\end{array}\right} = \left{\begin{array}{c}n\k_1\end{array}\right}\gamma$。通过分析左右两边的主导根和利用伯特兰假设，我们可以推出矛盾，从而证明该定理。

综上所述，帕斯卡三角形和斯特林三角形中的丢番图问题涉及到多个领域的知识，包括组合学、数论和代数。这些问题的研究不仅有助于我们深入理解这些三角形的性质，还为解决其他相关的数学问题提供了思路和方法。未来，我们可以进一步探索这些问题的推广和应用，以及寻找更多的解和规律。

相关练习与展望

• 练习 ：
  1. 证明不等式 $\binom{2b}{b} \geq 2^b$（$b \geq 0$）。
  2. 证明 $N(3) = N(4) = N(5) = 2$，$N(6) = 3$。
  3. 基于 Tovey 的结果，证明等式 $\binom{n}{k} = \binom{n - 1}{k + 1}$，其中 $n = F_{2i}F_{2i + 1}$，$k = F_{2i - 2}F_{2i + 1}$。
  4. 证明某个等式（这里原文可能是 $\binom{n}{k}$ 相关的等式，但未明确给出）成立。
  5. 独立证明 $F_iL_i + F_i^2$（或等价地，$F_{2i} + F_i^2$）总是偶数。
  6. 证明给定数字 $a$ 在第一类或第二类斯特林三角形中最多出现在第 $n$ 行，其中 $n = \left\lceil\frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 + 8a})\right\rceil$。
  7. 研究问题：除了 1、6 和 120 之外，是否还有其他阶乘 - 三角数？
• 展望 ：
  • D. M. Kane 研究了方程 $\binom{n}{m} = t$ 的解的数量，使用了一个隐式定义的函数 $f$。
  • 对于方程 $\binom{n}{k} = \binom{m}{l}$ 以及其推广形式 $\binom{n}{k} - \binom{m}{l} = d > 0$ 有最新的研究，前者的解 $(n, k, m, l)$ 被称为碰撞，后者被称为近碰撞。
  • 伯特兰假设有着深远的推广，例如在区间 $n$ 和 $n + n^{\alpha}$（$\alpha < 1$）中寻找素数。最新结果表明，当 $\alpha = \frac{21}{40}$ 时，对于足够大的 $n$，该区间内仍然存在素数。此外，拉马努金和埃尔德什独立观察到对于任意正整数 $k$，存在一个整数 $n(k)$，使得当 $n > n(k)$ 时，在 $n$ 和 $2n$ 之间有 $k$ 个素数。
  • 另一个与伯特兰假设相关但不同的陈述是：如果 $n > 1$，则在 $n^2$ 和 $(n + 1)^2$ 之间存在一个素数，这个陈述最初由勒让德猜想，但尚未被证明。
  • 可以利用伯特兰假设证明调和数的非整数性质。
  • 克拉扎尔 - 卢卡定理可以推广到更一般的幂和情况，并且对于形如 $\left{\begin{array}{c}n\k_1\end{array}\right}^{a_1}\left{\begin{array}{c}n\k_2\end{array}\right}^{a_2}\cdots\left{\begin{array}{c}n\k_m\end{array}\right}^{a_m} = x^d$ 的丢番图方程，在一定条件下只有有限个解。
  • 对于斯特林数有一些有效的有限性结果，例如某些斯特林数方程的解的数量是有限的，并且可以用固定参数的显式表达式来界定。
  • 埃尔德什 - 莫泽方程 $\sum_{i = 1}^{m - 1}i^n = m^n$ 除了 $1^1 + 2^1 = 3^1$ 之外，在很大的 $m$ 范围内都没有其他解。此外，还有许多关于这个方程的变体和同余问题的研究。
  • 最近对第五章中幂和的丢番图问题也有相关研究。

数论中的二项式与斯特林数相关的丢番图结果（续）

5. 相关问题的深入探讨与展望

在前面的内容中，我们已经详细研究了帕斯卡三角形和斯特林三角形中的丢番图问题，包括数字出现次数的界限、相等值的情况以及相关的丢番图方程。接下来，我们将对这些问题进行更深入的探讨，并展望未来的研究方向。

5.1 帕斯卡三角形相关问题的深入

对于帕斯卡三角形中数字出现次数的界限问题，虽然目前已经有了一些结果，如 Singmaster 猜想认为对于所有 $a > 1$，$N(a)$ 是有限的，但这一猜想尚未得到完全证明。目前已知的最佳界限 $N(a) = O\left(\frac{(\log a)(\log \log \log a)}{(\log \log a)^3}\right)$ 也有进一步优化的空间。未来的研究可以尝试寻找更精确的界限，或者通过新的方法来验证 Singmaster 猜想。

在帕斯卡三角形中相等值的问题上，方程 $\binom{n}{k} = \binom{m}{l}$ 仅在部分 $(k, l)$ 取值下得到了完整解。对于其他情况，可能需要开发新的数学工具和方法来求解。例如，可以结合代数几何、数论中的高级理论等，尝试找到更一般的解法。以下是已解决的 $(k, l)$ 取值情况表格：
| $(k, l)$ 取值 | 解决者 | 解决时间 |
| — | — | — |
| $(2, 3)$ | Avanesov | 1966 年 |
| $(2, 4)$ | de Weger 和 Pintér 分别独立解决 | 1996 年和 1995 年 |
| $(3, 4)$ | de Weger | 1997 年 |
| $(2, 5)$ | Bugeaud 及其合作者 | 2008 年 |
| $(2, 6), (2, 8), (3, 6), (4, 6), (4, 8)$ | Stroeker 和 de Weger | 1999 年 |

5.2 斯特林三角形相关问题的深入

在斯特林三角形中，数字出现次数的界限 $M_1(a)$ 和 $M_2(a)$ 的估计虽然已经得到，但对于这些界限是否可以进一步优化，仍然是一个值得研究的问题。例如，可以尝试寻找更精确的不等式来估计斯特林数的大小，从而得到更紧的界限。

对于斯特林三角形中的相等值问题，虽然已经发现了一些重复出现的数字和相关的丢番图方程，但还有许多未知的情况。例如，对于方程 $\left{\begin{array}{c}n\n - 3\end{array}\right} = \left{\begin{array}{c}m\m - 1\end{array}\right}$ 的研究还处于初步阶段，需要进一步深入探讨其解的性质和分布规律。另外，对于第一类斯特林三角形中涉及阶乘和三角数的方程 $n! = \frac{m(m - 1)}{2}$，除了已知的解 1、6 和 120 之外，是否还有其他解仍然未知。可以通过计算机搜索和理论分析相结合的方法，扩大搜索范围，尝试找到新的解。

5.3 相关定理的推广与应用

克拉扎尔 - 卢卡定理证明了在斯特林三角形中，对于 $\left{\begin{array}{c}n\k_2\end{array}\right} = c\left{\begin{array}{c}n\k_1\end{array}\right}$ 这样的等式只在有限个 $n$ 时成立。这一定理可以推广到更一般的幂和情况，并且对于形如 $\left{\begin{array}{c}n\k_1\end{array}\right}^{a_1}\left{\begin{array}{c}n\k_2\end{array}\right}^{a_2}\cdots\left{\begin{array}{c}n\k_m\end{array}\right}^{a_m} = x^d$ 的丢番图方程，在一定条件下只有有限个解。未来的研究可以进一步探索这些推广的应用范围，例如在密码学、编码理论等领域，是否可以利用这些结果来设计更安全的算法或编码方案。

伯特兰假设的推广也为素数分布的研究提供了新的方向。目前已知在区间 $n$ 和 $n + n^{\alpha}$（$\alpha < 1$）中寻找素数的最新结果是当 $\alpha = \frac{21}{40}$ 时，对于足够大的 $n$，该区间内仍然存在素数。可以进一步研究更小的 $\alpha$ 值是否仍然能保证素数的存在，或者在其他类型的区间中寻找素数的分布规律。以下是伯特兰假设推广的简单流程图：

graph LR
    A[原始伯特兰假设] --> B[区间 n 到 2n 有素数]
    B --> C[推广到区间 n 到 n + n^α]
    C --> D[研究不同 α 值下素数存在情况]
    D --> E[最新结果 α = 21/40 时大 n 有素数]
    E --> F[探索更小 α 值]

5.4 其他相关问题的研究

对于拉马努金 - 纳格尔方程 $2^n - 1 = \frac{m(m - 1)}{2}$，虽然已经证明了其正整数解只有 0、1、3、15 和 4095，但可以研究其在其他数域中的解，或者对其进行变形和推广，得到新的丢番图方程并研究其解的性质。

埃尔德什 - 莫泽方程 $\sum_{i = 1}^{m - 1}i^n = m^n$ 除了已知的解 $1^1 + 2^1 = 3^1$ 之外，在很大的 $m$ 范围内都没有其他解。未来的研究可以尝试扩大搜索范围，或者从理论上证明是否存在其他解。另外，对于该方程的变体和同余问题的研究也可以进一步深入，探索这些问题与其他数学领域的联系。

6. 总结

本文围绕帕斯卡三角形和斯特林三角形中的丢番图问题展开了深入研究。在帕斯卡三角形中，我们研究了数字出现次数的界限和相等值的问题，发现了一些有趣的数字重复出现的情况，并对相关方程的求解进行了探讨。在斯特林三角形中，我们为数字出现次数给出了界限，研究了重复值和相关的丢番图方程，如拉马努金 - 纳格尔方程、涉及阶乘和三角数的方程等。同时，我们还介绍了克拉扎尔 - 卢卡定理及其证明，以及伯特兰假设的推广等内容。

这些研究不仅丰富了我们对组合学和数论中计数序列的认识，还为解决其他数学问题提供了思路和方法。然而，目前仍然有许多问题尚未得到完全解决，如 Singmaster 猜想、方程 $\binom{n}{k} = \binom{m}{l}$ 的一般解法、斯特林三角形中未知的重复值等。未来的研究可以在这些方向上继续深入，结合新的数学理论和方法，有望取得更多的突破和成果。

相关研究建议

• 对于帕斯卡三角形和斯特林三角形相关问题的研究，可以加强跨学科的合作。例如，与计算机科学领域合作，利用计算机的强大计算能力进行大规模的数值实验和搜索，帮助发现新的规律和现象。
• 在研究丢番图方程时，可以尝试引入新的数学工具，如机器学习算法。通过对已知解的数据进行分析和学习，预测未知解的可能特征，为理论证明提供方向。
• 组织国际合作项目，汇聚全球数学研究者的智慧和力量，共同攻克一些长期未解决的难题，如 Singmaster 猜想等。

总之，帕斯卡三角形和斯特林三角形中的丢番图问题是一个充满挑战和机遇的研究领域，未来的研究有望为数学的发展做出重要贡献。