24、计数序列的组合数学与数论：从斯特林数到同余性质

计数序列的组合数学与数论：从斯特林数到同余性质

1. 双曲正弦与计数序列递归

双曲正弦函数是特定序列的指数生成函数。对于序列 (a_n)，当 (n) 为奇数时 (a_n = 1)，当 (n) 为偶数时 (a_n = 0)。通过一系列推导，我们得到了关于 (B_{n,Ap}) 的递归关系：
[
B_{n,Ap} = \sum_{k = 1}^{[n/2]} \binom{n - 1}{2k - 1} B_{n - 2k,Ap}
]
其初始值为 (B_{0,Ap} = 1)，(B_{1,Ap} = 0)。这个递归关系在组合数学中用于计算特定的计数问题，为后续的研究奠定了基础。

2. 第一类通用斯特林数

从划分到排列的生成函数转变时，唯一本质的区别是分母中 (k!) 变为 (k)。基于此，我们定义了第一类通用斯特林数 (\begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix} A)，它表示 (n) 个元素的排列中包含 (k) 个循环，且长度为 (i) 的循环数量在集合 (K_i) 中的排列个数。
- 通用阶乘与通用阶乘多项式 ：通用阶乘 (A {n,A} = \sum_{k = 0}^{n} \begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix} A)，通用阶乘多项式 (A {n,A}(x) = \sum_{k = 0}^{n} \begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix} A x^k)。
- 指数生成函数 ：这些多项式的指数生成函数为
[
\sum {n = 0}^{\infty} \frac{A_{n,A}(x) y^n}{n!} = \prod_{i = 1}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{a_{i,j} x^j}{j!} \left(\frac{y^i}{i}\right)^j
]

3. 练习题解析

提供了一系列练习题，涵盖了组合数学的多个方面，如分配礼物、组合恒等式的组合解释、满射函数的计数等。以下是部分练习题的总结：
| 题目编号 | 题目内容 |
| ---- | ---- |
| 1 | 把 7 个礼物分给 3 个朋友，每人至少 2 个礼物，有多少种分法？ |
| 2 | 对二项式和 (10.1) 给出组合解释。 |
| 3 | 从 (n) 元集到 (k) 元集的满射函数，每个像至少被取 (m) 次，有多少个？ |

这些练习题有助于加深对组合数学概念的理解和应用能力。

4. 同余的概念

• 整数的整除与同余 ：若整数 (a) 能整除整数 (b)，记为 (a | b)，即存在整数 (c) 使得 (ac = b)。若 (a) 不能整除 (b)，则 (b = ak + r)，其中 (k) 为非负整数，(0 \leq r < a)。当两个数 (b_1) 和 (b_2) 除以 (a) 的余数相同时，称它们模 (a) 同余，记为 (b_1 \equiv b_2 \pmod{a})。
• 分数的同余 ：对于分数，同余是对分子而言。例如，(\frac{3}{7} \equiv \frac{8}{7} \pmod{5})，(\frac{a}{b} \equiv 0 \pmod{c^2}) 表示 (a) 能被 (c^2) 整除，且 (b) 不能被 (c) 整除。

5. 二项式系数的奇偶性

对于非负整数 (n) 和 (k)，二项式系数 (\binom{n}{k}) 的奇偶性有如下定理：
[
\binom{n}{k} \equiv
\begin{cases}
0 \pmod{2}, & \text{若 } n \text{ 为偶数且 } k \text{ 为奇数}\
\binom{\lfloor n/2 \rfloor}{\lfloor k/2 \rfloor} \pmod{2}, & \text{否则}
\end{cases}
]
由此定理可得，帕斯卡三角形第 (n) 行中奇数二项式系数的个数为 (a(n) = 2^w)，其中 (w) 是 (n) 的二进制表示中 1 的个数。

下面是一个简单的 mermaid 流程图，展示了从二项式系数到奇偶性判断的过程：

graph TD;
    A[输入 n 和 k] --> B{判断 n 奇偶性};
    B -- n 为偶数 --> C{判断 k 奇偶性};
    C -- k 为奇数 --> D[输出 0 (mod 2)];
    C -- k 为偶数 --> E[计算 ⌊n/2⌋ 和 ⌊k/2⌋];
    E --> F[计算 ⌊n/2⌋ 选 ⌊k/2⌋ (mod 2)];
    B -- n 为奇数 --> E;

这些内容展示了组合数学与数论中计数序列的重要概念和方法，从递归关系到斯特林数，再到同余性质，为解决各种组合问题提供了有力的工具。

计数序列的组合数学与数论：从斯特林数到同余性质

6. 斯特林数及相关序列的特殊值与性质

斯特林数及相关序列在组合数学中有着丰富的特殊值和性质，以下为大家详细介绍：
- 关联斯特林数特殊值 ：
- 当 (n \geq 4) 时，(\left{ \begin{array}{c} n \ 2 \end{array} \right} {\geq 2} = \frac{1}{2}(2^n - 2n - 2))；
- 当 (n \geq 6) 时，(\left{ \begin{array}{c} n \ 3 \end{array} \right} {\geq 2} = \frac{1}{6}(3^n - 3 \cdot 2^n) - \frac{1}{2}n(2^{n - 1} - 1) + \frac{1}{2}(n^2 + 1))；
- 当 (n \geq 8) 时，(\left{ \begin{array}{c} n \ 4 \end{array} \right} {\geq 2} = \frac{4^n}{24} - \frac{3^n}{18}(n + 3) - \frac{1}{6}(n^3 + 2n + 1) + \frac{2^n}{16}(n^2 + 3n + 4))。
- 限制斯特林数特殊值 ：
- 当 (n \geq 2)，(m \geq 2) 时，(\left{ \begin{array}{c} n \ n - 1 \end{array} \right} {\leq m} = \binom{n}{2})；
- 当 (n \geq 4) 时，若 (m \geq 3)，(\left{ \begin{array}{c} n \ n - 2 \end{array} \right} {\leq m} = \frac{3n - 5}{4}\binom{n}{3})；若 (m = 2)，(\left{ \begin{array}{c} n \ n - 2 \end{array} \right} {\leq m} = 3\binom{n}{4})；
- 当 (n \geq 4) 时，若 (m \geq 4)，(\left{ \begin{array}{c} n \ n - 3 \end{array} \right} {\leq m} = \binom{n}{4}\binom{n - 2}{2})；若 (m = 3)，(\left{ \begin{array}{c} n \ n - 3 \end{array} \right} {\leq m} = 15\binom{n}{6} + 10\binom{n}{5})；若 (m = 2)，(\left{ \begin{array}{c} n \ n - 3 \end{array} \right} {\leq m} = 15\binom{n}{6})。
- 第一类关联斯特林数特殊值 ：
- 当 (m = 1)，(m = n = 2) 时，(\left[ \begin{array}{c} n \ n - 1 \end{array} \right] {\geq m} = \binom{n}{2})；否则为 (0)；
- 当 (m = 1) 时，(\left[ \begin{array}{c} n \ n - 2 \end{array} \right] {\geq m} = \frac{3n - 1}{4}\binom{n}{3})；当 (m = 2)，(n = 4) 时为 (3)；当 (m = 2, 3)，(n = 3) 时为 (2)；否则为 (0)；
- 当 (m = 1) 时，(\left[ \begin{array}{c} n \ n - 3 \end{array} \right] {\geq m} = \binom{n}{4}\binom{n}{2})；当 (2 \leq m \leq 4)，(n = 4) 时为 (6)；当 (m = 2)，(n = 5) 时为 (20)；当 (m = 2)，(n = 6) 时为 (15)；否则为 (0)。

7. 生成函数相关性质及证明

• 通用阶乘指数生成函数 ：当只允许偶数个循环时，通用阶乘的指数生成函数为 (\exp\left(\frac{y^2}{1 - y^2}\right))。
• 双曲函数证明 ：利用文本中给出的 (\sinh) 和 (\cosh) 的生成函数解释，可以证明 (\sinh(x) = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})) 和 (\cosh(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x}))。
• 贝尔数相关证明 ：可以证明 (B_{n,\geq 2} \equiv 1 \pmod{p}) 对于任意素数 (p) 成立。
• 不动点自由对合证明 ：设 (h(n)) 为 (2n) 个元素上无不动点对合的个数，其指数生成函数为 (e^{x^2/2})，且 (h(n) = \frac{(2n)!}{2^n n!})。

8. 行列式与积分表示相关证明

• 错排数汉克尔行列式 ：((n + 1)) 阶错排数的汉克尔行列式为 (\det\begin{pmatrix} D_0 & D_1 & \cdots & D_n \ D_1 & D_2 & \cdots & D_{n + 1} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ D_n & D_{n + 1} & \cdots & D_{2n} \end{pmatrix} = \left(\prod_{k = 0}^{n} k!\right)^2)。
• 多项式汉克尔行列式 ：(B_{n,\leq 2}(x))、(B_{n,\geq 2}(x)) 和 (B_{n,=2}(x)) 的汉克尔行列式为 (x^{\binom{n + 1}{2}}\prod_{k = 0}^{n} k!)。
• 错排数积分表示 ：错排数 (D_n) 有积分表示 (D_n = \int_{0}^{\infty} e^{-t}(t - 1)^n dt)。

9. 排列相关计数及性质

• 带固定点数的排列计数 ：设 (D_{n,k}) 表示恰有 (k) 个不动点的排列个数，通过容斥原理可得 (D_{n,k} = \frac{n!}{k!}\sum_{j = 0}^{n - k} \frac{(-1)^j}{j!})，(D_{n,k}) 被称为相遇数。
• 错排数递推关系 ：错排数 (D_n) 满足递推关系 (D_n = (n - 1)(D_{n - 1} + D_{n - 2}))，(n \geq 2)，初始值 (D_0 = 1)，(D_1 = 0)。
• 带符号错排数 ：带符号错排数 (D_B^n) 可计算为 (D_B^n = n!\sum_{k = 0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}2^{n - k})。
• 相对错排数 ：设 (Q_n) 表示相对错排数，有 (Q_n = D_n + D_{n - 1})；设 (Q_B^n) 表示带符号相对错排数，有 (Q_B^n = D_B^n + D_B^{n - 1})。

10. 展望与拓展

斯特林数、错排数等相关的研究有着广阔的拓展空间：
- 历史与文献 ：关于斯特林数、拉赫数等的历史注释可在相关书籍中找到，近期也有许多关于通用斯特林数特定版本的研究。
- 多项式性质 ：相关多项式如 (A_{n,\geq m}(x)) 和 (B_{n,\geq m}(x)) 的实零点性质受到了广泛关注，部分多项式已被证明只有实零点，但仍有许多情况有待研究。
- 渐近性质 ：错排数、关联阶乘等的渐近性质可以进行推广，关联斯特林数的渐近行为与经典斯特林数相似，但子主导项的研究仍是一个有趣的问题。
- 其他拓展 ：错排数可推广为 (r) - 错排数，还可以研究受限和关联的拉赫数、广义贝尔多项式等，并且这些数与兰伯特 (W) 函数等有着多种联系。

下面是一个 mermaid 流程图，展示了从错排数到相关拓展概念的研究路径：

graph LR;
    A[错排数 Dn] --> B[带固定点数排列 Dn,k];
    A --> C[带符号错排数 DBn];
    A --> D[相对错排数 Qn];
    D --> E[带符号相对错排数 QBn];
    A --> F[r - 错排数];
    B --> G[关联斯特林数渐近性质];
    F --> H[受限和关联拉赫数];
    H --> I[广义贝尔多项式];
    I --> J[与兰伯特 W 函数联系];

这些研究成果和拓展方向展示了组合数学与数论中计数序列的丰富内涵和广泛应用，为后续的研究提供了众多的思路和方向。