21、计数序列的组合数学与数论：受限结构下的计数问题

计数序列的组合数学与数论：受限结构下的计数问题

在计数序列的研究中，我们常常会遇到各种受限条件下的计数问题。本文将深入探讨一些具有特定限制的计数序列，包括 2 - 受限贝尔数、杨图与杨表、贝塞尔多项式的微分方程、最大块大小为 m 的受限斯特林数、受限贝尔数以及礼品交换问题等。

2 - 受限贝尔数及其指数生成函数

在计数序列中，当考虑 n 元集合的划分，且划分块的大小限制为单元素集或大小为 2 的集合时，就引入了 2 - 受限贝尔数 (B_{n,\leq2})。

首先，我们通过贝塞尔数来计算 2 - 受限贝尔数，其计算公式为 (B_{n,\leq2} = \sum_{k=\lceil n/2 \rceil}^{n} \begin{Bmatrix} n \ k \end{Bmatrix} {\leq2})。为了找到 (B {n,\leq2}) 的指数生成函数，我们先考虑更一般的多项式 (B_{n,\leq2}(y) = \sum_{k=\lceil n/2 \rceil}^{n} \begin{Bmatrix} n \ k \end{Bmatrix}_{\leq2} y^k)。

通过对等式 (\sum_{n=k}^{2k} \begin{Bmatrix} n \ k \end{Bmatrix} {\leq2} \frac{x^n}{n!} = \frac{1}{k!} \left( x + \frac{x^2}{2} \right)^k) 两边乘以 (y^k)，并对 k 求和，交换求和顺序后，得到 (\sum {n=0}^{\infty} B_{n,\leq2}(y) \frac{x^n}{n!} = e^{y \lef