26、计数序列的组合数学与数论中的同余性质

计数序列的组合数学与数论中的同余性质

1. 贝尔数的同余性质

1.1 贝尔数 (B_p) 和 (B_{p + 1}) 的同余

对于贝尔数 (B_p)（(p) 为素数），除了 (k = 1, p) 外，相关组合数都能被 (p) 整除，由此可得 (B_p \equiv \begin{Bmatrix}p\1\end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix}p\p\end{Bmatrix} = 2 \pmod{p})。

对于 (B_{p + 1})，根据公式 (B_{p + 1} = \sum_{k = 0}^{p} \binom{p}{k} B_k)，结合二项式系数的整除性质，已知 (B_p \equiv 2 \pmod{p})，可得 (B_{p + 1} \equiv \binom{p}{0} + \binom{p}{p} B_p = 1 + B_p \equiv 3 \pmod{p})。

1.2 托卡尔同余（Touchard’s congruence）

托卡尔在 1933 年证明了一般情况下，对于任意素数 (p) 和 (n \geq 0)，有 (B_{n + p} \equiv B_{n + 1} + B_n \pmod{p})。当 (n = 0) 时，得到 (B_p \equiv 2 \pmod{p})；当 (n = 1) 时，得到 (B_{p + 1} \equiv 3 \pmod{p})。

证明该同余式可利用斯皮维（M. Z. Spivey）在 2008 年提出的恒等式 (B_{n + m} = \sum_{k = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} j^{n - k} \begin{Bmatrix}m\j\end{Bmatrix} \binom{n}{k} B_k)。当 (m = p) 时，因为 (1 < j < p) 时，(\begin{Bmatrix}p\j\end{Bmatrix} \equiv 0 \pmod{p})，经过一系列化简和计算，结合特殊值 (\begin{Bmatrix}p\1\end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}p\p\end{Bmatrix} = 1) 以及递推关系 (\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} B_k = B_{n + 1})，可得到托卡尔同余式。

以下是相关证明步骤的流程图：

graph TD;
    A[从斯皮维恒等式 B_{n + m} 开始] --> B[令 m = p];
    B --> C{判断 1 < j < p 时 \(\begin{Bmatrix}p\\j\end{Bmatrix}\) 的同余情况};
    C -- \(\begin{Bmatrix}p\\j\end{Bmatrix} \equiv 0 \pmod{p}\) --> D[化简 B_{n + p} 的表达式];
    D --> E[利用特殊值和递推关系];
    E --> F[得到托卡尔同余式 B_{n + p} \equiv B_{n + 1} + B_n \pmod{p}];

2. 富比尼数的整除性质

2.1 基本同余关系

富比尼数定义为 (F_n = \sum_{k = 0}^{n} k! \begin{Bmatrix}n\k\end{Bmatrix})，由于定义中的 (k!)，满足一些简单的同余关系。例如：
- (F_n = 1! \begin{Bmatrix}n\1\end{Bmatrix} + 2! \begin{Bmatrix}n\2\end{Bmatrix} + \cdots \equiv 1 \begin{Bmatrix}n\1\end{Bmatrix} = 1 \pmod{2})，所以所有富比尼数都是奇数。
- 对于 (n \geq 5)，有 (F_{n + 1} \equiv F_n \pmod{32})。
- 对于任意素数 (p)，(F_p = 1! \begin{Bmatrix}p\1\end{Bmatrix} + 2! \begin{Bmatrix}p\2\end{Bmatrix} + \cdots + p! \begin{Bmatrix}p\p\end{Bmatrix} \equiv 1 \pmod{p})，因为和式中非极值项都能被 (p) 整除，最后一项对于任意素数 (p) 也能被 (p) 整除。

2.2 类似托卡尔的同余

贝尔数的托卡尔同余为 (B_{n + p} = B_{n + 1} + B_n)，对于富比尼数，可证明 (F_{n + p} \equiv F_{n + 1} \pmod{p})。证明需要用到费马小定理：对于任意整数 (a) 和任意素数 (p)，(a^p \equiv a \pmod{p})，等价地，若 (a \not\equiv 0 \pmod{p})，则 (a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p})。

当 (p) 为奇素数时，利用有序多宾斯基公式 (F_{n + p} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k^{n + p}}{2^{k + 1}} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k^n}{2^{k + 1}} k^p \equiv \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k^{n + 1}}{2^{k + 1}} = F_{n + 1} \pmod{p})。(p = 2) 的情况已在前面证明 (F_{n + 2} \equiv F_{n + 1} \pmod{2})，无需费马定理。还可证明更一般的形式 (F_{n + mp} \equiv F_{n + m} \pmod{p})。

2.3 格罗斯 - 考夫曼 - 普南同余

2.3.1 格罗斯同余

格罗斯在 1962 年指出富比尼数的一个很好的同余性质：(F_{n + 4} \equiv F_n \pmod{10})。证明过程中，通过富比尼数的定义展开 (F_{n + 4} - F_n)，利用斯特林数的特殊值 (\begin{Bmatrix}n\0\end{Bmatrix} = 0)，(\begin{Bmatrix}n\1\end{Bmatrix} = 1) 消去前两项，然后证明剩余项能被 5 整除，从而证明了格罗斯的结果。这表明富比尼数序列 (F_n) 的最后一位数字形成长度为 4 的周期序列。

2.3.2 广义格罗斯同余

考夫曼将格罗斯同余进行了推广，得到：
- (F_{n + 20} \equiv F_n \pmod{100})（(n > 1)）
- (F_{n + 100} \equiv F_n \pmod{1000})（(n > 2)）
- (F_{n + 500} \equiv F_n \pmod{10000})（(n > 3)）

普南在 1986 年进一步证明对于所有 (k \geq 1)，有 (F_{n + m(k)} \equiv F_n \pmod{10^k})，其中 (m(k) = \begin{cases}4 \cdot 5^{k - 1}, & k = 1, 2, 3, 4\2^{k - 4}5^{k - 1}, & k > 4\end{cases})。即富比尼数序列 (F_n) 的最后 (k) 位数字形成周期为 (m(k)) 的循环序列，且在任何数基下最后几位数字都形成周期序列。

以下是富比尼数同余性质的总结表格：
|同余性质|表达式|适用条件|
| ---- | ---- | ---- |
|基本同余（模 2）| (F_n \equiv 1 \pmod{2}) | 所有 (n) |
|基本同余（模 32）| (F_{n + 1} \equiv F_n \pmod{32}) | (n \geq 5) |
|基本同余（模 (p)）| (F_p \equiv 1 \pmod{p}) | (p) 为素数 |
|类似托卡尔同余| (F_{n + p} \equiv F_{n + 1} \pmod{p}) | (p) 为素数 |
|广义类似托卡尔同余| (F_{n + mp} \equiv F_{n + m} \pmod{p}) | (p) 为素数 |
|格罗斯同余| (F_{n + 4} \equiv F_n \pmod{10}) | (n > 4) |
|广义格罗斯同余（模 100）| (F_{n + 20} \equiv F_n \pmod{100}) | (n > 1) |
|广义格罗斯同余（模 1000）| (F_{n + 100} \equiv F_n \pmod{1000}) | (n > 2) |
|广义格罗斯同余（模 10000）| (F_{n + 500} \equiv F_n \pmod{10000}) | (n > 3) |
|普南同余| (F_{n + m(k)} \equiv F_n \pmod{10^k}) | (k \geq 1) |

3. 库雷帕猜想

库雷帕猜想所谓的左阶乘函数 (!n = 0! + 1! + \cdots + (n - 1)!) 对于大于 2 的素数 (p) 永远不同余于零，即 (!p \not\equiv 0 \pmod{p})，该猜想仍未解决。

可证明 (!p \equiv D_{p - 1} \equiv B_{p - 1} - 1 \pmod{p})：
- (!p \equiv D_{p - 1} \pmod{p}) ：根据公式 (D_{p - 1} = (p - 1)! \sum_{k = 0}^{p - 1} \frac{(-1)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \binom{p - 1}{k} (-1)^k (p - 1 - k)! = \sum_{k = 0}^{p - 1} \binom{p - 1}{k} (-1)^{p - 1 - k} k! \equiv \sum_{k = 0}^{p - 1} (-1)^k (-1)^k k! = \sum_{k = 0}^{p - 1} k! =!p \pmod{p})，其中用到同余式 (\binom{p - 1}{k} \equiv (-1)^k \pmod{p})。
- (!p \equiv B_{p - 1} - 1 \pmod{p}) ：只需证明 (B_{p - 1} \equiv D_{p - 1} + 1 \pmod{p})。利用相关公式和费马小定理、威尔逊定理进行化简，结合错位排列数序列是 (k!) 序列的逆二项式变换，最终得到 (B_{p - 1} \equiv 1 + D_{p - 1})。

库雷帕猜想的另一种表述为：不存在奇素数 (p) 使得 (B_{p - 1} - 1) 或 (D_{p - 1}) 能被 (p) 整除。

4. 调和数与超调和数的非整数性质

4.1 (p) - 进赋值与 (p) - 进绝对值

设 (u) 为有理数，固定素数 (p) 后，(u) 可写成 (u = p^{\alpha} \frac{a}{b}) 的形式，其中 (a) 和 (b) 不能被 (p) 整除，(\alpha) 为整数，(\alpha) 称为 (u) 的 (p) - 进赋值，记为 (\nu_p(u) = \alpha)。例如，若 (u = \frac{352}{475})，(p = 5)，则 (u = 5^{-2} \frac{352}{19})，(\nu_5(\frac{352}{475}) = -2)。

(p) - 进赋值满足以下性质：
- (\nu_p(ab) = \nu_p(a) + \nu_p(b))
- (\nu_p(a + b) \geq \min{\nu_p(a), \nu_p(b)})，当 (\nu_p(a) \neq \nu_p(b)) 时取等号

有理数 (u) 的 (p) - 进绝对值或 (p) - 进范数定义为 (|u|_p = p^{-\alpha} = p^{-\nu_p(u)})，例如 (|\frac{352}{475}|_5 = 5^2 = 25)。还满足 (|ab|_p = |a|_p |b|_p) 和 (|a + b|_p \leq \max{|a|_p, |p|_p})（强三角不等式）。

4.2 调和数 (H_n) 非整数（(n > 1)）

要证明调和数 (H_n)（(n > 1)）为非整数，可证明其写成最简分数时，分母总是能被 2 的正幂整除。具体证明：
- 当 (n) 为偶数时，由强三角不等式可得 (\max{|H_n| 2, |1|_2} \geq 2 |H {n/2}| 2)；当 (n) 为奇数时，同样有 (\max{|H_n|_2, |1|_2} \geq 2 |H {(n - 1)/2}|_2)。所以调和数的 2 - 进范数单调递增，因为 (|H_2|_2 = |\frac{3}{2}|_2 = 2)，所以所有调和数的 2 - 进范数都大于 1，即调和数不是整数。
- 还可证明 (|H_n|_2 = 2^{\lfloor \log_2 n \rfloor})，其中 (\lfloor \log_2 n \rfloor) 是 (n) 以 2 为底的对数的向下取整。

证明过程的流程图如下：

graph TD;
    A[开始证明 H_n 非整数] --> B{判断 n 的奇偶性};
    B -- 偶数 --> C[利用强三角不等式得到 max{...} ≥ 2 |H_{n/2}|_2];
    B -- 奇数 --> D[利用强三角不等式得到 max{...} ≥ 2 |H_{(n - 1)/2}|_2];
    C --> E[得出 H_n 的 2 - 进范数单调递增];
    D --> E;
    E --> F[根据 |H_2|_2 = 2 得到所有 H_n 的 2 - 进范数大于 1];
    F --> G[得出 H_n 不是整数];

4.3 超调和数的 (2) - 进范数

4.3.1 阶乘的精确赋值

对于所有 (n \geq 1)，(|n!|_p = p^{-\frac{n - A_p(n)}{p - 1}})，其中 (A_p(n)) 是 (n) 在 (p) 进制下各位数字之和。用赋值表示为 (\nu_p(n!) = \frac{n - A_p(n)}{p - 1})。例如，当 (p = 2)，(n = 11) 时，(11 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0)，(A_2(11) = 1 + 1 + 1 = 3)，则 (\nu_2(11!) = \frac{11 - 3}{2 - 1} = 8)，即 (|11!|_2 = 2^{-8})。

证明使用归纳法：
- 当 (n = 1) 时，结论显然成立。
- 假设 (|(n - 1)!| p = p^{-\frac{n - 1 - A_p(n - 1)}{p - 1}}) 成立，分两种情况讨论 (n)：
- 若 (a_0 < p - 1)，则 (A_p(n) = A_p(n - 1) + 1)，(|n|_p = 1)，(|n!|_p = |n (n - 1)!|_p = |(n - 1)!|_p = p^{-\frac{n - A_p(n)}{p - 1}})。
- 若 (a_0 = p - 1)，设 (a_0 = a_1 = \cdots = a {t - 1} = p - 1)，(a_t < p - 1)，则 (A_p(n) = A_p(n - 1) - (p - 1)t + 1)，(|n|_p = p^{-t})，(|n!|_p = |n (n - 1)!|_p = |n|_p |(n - 1)!|_p = p^{-t} p^{-\frac{n - 1 - A_p(n - 1)}{p - 1}} = p^{-\frac{n - A_p(n)}{p - 1}})。

4.3.2 超调和数的精确赋值

为简化公式，记 (l_2(n) = \lfloor \log_2 n \rfloor)。若 (l_2(n + r - 1) > l_2(r - 1))，则 (|H_n^{(r)}|_2 = 2^{A_2(n + r - 1) - A_2(n) - A_2(r - 1) + l_2(n + r - 1)})；否则 (|H_n^{(r)}|_2 = 2^{A_2(n + r - 1) - A_2(n) - A_2(r - 1) + \max{|\frac{1}{r}|_2, |\frac{1}{r + 1}|_2, \cdots, |\frac{1}{n + r - 1}|_2}})。

证明过程：
- 首先，(|H_n^{(r)}| 2 = |\binom{n + r - 1}{r - 1} (H {n + r - 1} - H_{r - 1})| 2)，根据条件 (l_2(n + r - 1) > l_2(r - 1)) 进行化简，得到 (|H_n^{(r)}|_2 = |\binom{n + r - 1}{r - 1}|_2 |\frac{ad - 2^{l_2(n + r - 1) - l_2(r - 1)} bc}{2^{l_2(n + r - 1)} bd}|_2)，因为分子为奇数，所以 (|\frac{ad - 2^{l_2(n + r - 1) - l_2(r - 1)} bc}{2^{l_2(n + r - 1)} bd}|_2 = 2^{l_2(n + r - 1)})。
- 计算二项式系数的 (2) - 进范数 (|\binom{n + r - 1}{r - 1}|_2 = \frac{|(n + r - 1)!|_2}{|(r - 1)!|_2 |n!|_2} = 2^{A_2(n + r - 1) - A_2(n) - A_2(r - 1)})，从而得到相应结果。
- 当 (l_2(n + r - 1) = l_2(r - 1)) 时，通过减去分母为奇数的分数，利用递归方法和强三角不等式得到 (|H {n + r - 1} - H_{r - 1}|_2 = \max{|\frac{1}{r}|_2, |\frac{1}{r + 1}|_2, \cdots, |\frac{1}{n + r - 1}|_2})。

4.4 (H_1 + H_2 + \cdots + H_n) 非整数（(n > 1)）

已知 (H_1 + H_2 + \cdots + H_n = H_n^{(2)})，对于所有 (n \geq 1)，(l_2(n + 2 - 1) > l_2(2 - 1) = 0) 成立，且 (|H_n^{(2)}|_2 = 2^{A_2(n + 1) - A_2(n) - A_2(1) + l_2(n + 1)})。

设 (m = l_2(n + 1))，要使 (2) 的幂次最小，当 (A_2(n) = m) 且 (A_2(n + 1) = 1) 时取到，此时 (n = 2^m - 1)，(A_2(n + 1) - A_2(n) - A_2(1) + l_2(n + 1) = 1 - m - 1 + m = 0)。

若 (n \neq 2^m - 1) 对于某个 (m) 成立，则 (|H_n^{(2)}| 2 > 1)，即 (H_n^{(2)} \notin \mathbb{N})；若 (n = 2^m - 1)，则 (H_n^{(2)} = \binom{n + 2 - 1}{2 - 1} (H {n + 2 - 1} - H_{2 - 1}) = (n + 1) (H_{n + 1} - 1) = 2^m (\frac{a}{2^{l_2(n + 1)} b} - 1) = \frac{a}{b} - 2^m \notin \mathbb{N})。

综上所述，我们研究了贝尔数、富比尼数的同余性质，探讨了库雷帕猜想，还证明了调和数与超调和数的非整数性质，这些内容在组合数学和数论中都具有重要意义。

4.4 (H_1 + H_2 + \cdots + H_n) 非整数（(n > 1)）（续）

为了更清晰地理解 (H_1 + H_2 + \cdots + H_n) 非整数的证明过程，我们可以通过一个表格来分析不同 (n) 值下的情况：
| (n) | (l_2(n + 1)) | (A_2(n)) | (A_2(n + 1)) | (|H_n^{(2)}|_2) | 是否为整数 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| (2^m - 1) | (m) | (m) | (1) | (2^0 = 1)（特殊情况分析） | 否 |
| 其他值 | (m) | (1\leq A_2(n)\leq m) | (1\leq A_2(n + 1)\leq m + 1) | (> 1) | 否 |

从表格中可以更直观地看到，无论 (n) 取何值（(n > 1)），(H_1 + H_2 + \cdots + H_n = H_n^{(2)}) 都不是整数。

整个证明 (H_1 + H_2 + \cdots + H_n) 非整数的流程可以用以下 mermaid 格式流程图表示：

graph TD;
    A[开始证明 H_1 + H_2 + ... + H_n 非整数] --> B[确定 H_1 + H_2 + ... + H_n = H_n^{(2)}];
    B --> C[判断 l_2(n + 2 - 1) > l_2(2 - 1) 是否成立];
    C -- 成立 --> D[计算 |H_n^{(2)}|_2 = 2^{A_2(n + 1) - A_2(n) - A_2(1) + l_2(n + 1)}];
    D --> E{判断 n 是否为 2^m - 1 形式};
    E -- 是 --> F[计算特殊情况下的 H_n^{(2)} 并判断非整数];
    E -- 否 --> G[得出 |H_n^{(2)}|_2 > 1 并判断非整数];
    F --> H[得出 H_1 + H_2 + ... + H_n 非整数结论];
    G --> H;

5. 总结与应用展望

5.1 各类数的同余性质总结

我们对贝尔数、富比尼数、调和数和超调和数的同余性质及相关结论进行了深入研究，下面以表格形式总结这些重要性质：
| 数的类型 | 重要性质 | 表达式 | 适用条件 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 贝尔数 | 模 (p) 同余 | (B_p \equiv 2 \pmod{p}) | (p) 为素数 |
| | 模 (p) 同余 | (B_{p + 1} \equiv 3 \pmod{p}) | (p) 为素数 |
| | 托卡尔同余 | (B_{n + p} \equiv B_{n + 1} + B_n \pmod{p}) | (p) 为素数，(n \geq 0) |
| 富比尼数 | 模 2 同余 | (F_n \equiv 1 \pmod{2}) | 所有 (n) |
| | 模 32 同余 | (F_{n + 1} \equiv F_n \pmod{32}) | (n \geq 5) |
| | 模 (p) 同余 | (F_p \equiv 1 \pmod{p}) | (p) 为素数 |
| | 类似托卡尔同余 | (F_{n + p} \equiv F_{n + 1} \pmod{p}) | (p) 为素数 |
| | 广义类似托卡尔同余 | (F_{n + mp} \equiv F_{n + m} \pmod{p}) | (p) 为素数 |
| | 格罗斯同余 | (F_{n + 4} \equiv F_n \pmod{10}) | (n > 4) |
| | 广义格罗斯同余（模 100） | (F_{n + 20} \equiv F_n \pmod{100}) | (n > 1) |
| | 广义格罗斯同余（模 1000） | (F_{n + 100} \equiv F_n \pmod{1000}) | (n > 2) |
| | 广义格罗斯同余（模 10000） | (F_{n + 500} \equiv F_n \pmod{10000}) | (n > 3) |
| | 普南同余 | (F_{n + m(k)} \equiv F_n \pmod{10^k}) | (k \geq 1) |
| 调和数 | 非整数性质 | (|H_n|_2 = 2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}) | (n > 1) |
| 超调和数 | 阶乘精确赋值 | (|n!|_p = p^{-\frac{n - A_p(n)}{p - 1}}) | (n \geq 1) |
| | (2) - 进范数 | 若 (l_2(n + r - 1) > l_2(r - 1))，(|H_n^{(r)}|_2 = 2^{A_2(n + r - 1) - A_2(n) - A_2(r - 1) + l_2(n + r - 1)})；否则 (|H_n^{(r)}|_2 = 2^{A_2(n + r - 1) - A_2(n) - A_2(r - 1) + \max{|\frac{1}{r}|_2, |\frac{1}{r + 1}|_2, \cdots, |\frac{1}{n + r - 1}|_2}}) | - |
| | 非整数性质 | (H_1 + H_2 + \cdots + H_n = H_n^{(2)}) 非整数 | (n > 1) |

5.2 应用展望

这些数的同余性质和非整数性质在多个领域有着潜在的应用：
- 密码学领域 ：贝尔数和富比尼数的同余性质可以用于设计新的加密算法。例如，利用它们的周期性和同余关系生成密钥，增加密码的复杂性和安全性。
- 计算机科学领域 ：调和数和超调和数的非整数性质可以用于算法复杂度分析。在某些算法中，这些数的性质可以帮助判断算法是否会陷入无限循环或产生不合理的结果。
- 组合优化问题 ：贝尔数和富比尼数在组合数学中的应用可以帮助解决一些优化问题，如资源分配、任务调度等。通过研究它们的同余性质，可以找到更高效的解决方案。

总之，对这些数的性质的深入研究不仅丰富了组合数学和数论的理论体系，还为实际应用提供了有力的工具和方法。未来，我们可以进一步探索这些性质的应用场景，为相关领域的发展做出贡献。

通过以上内容，我们全面了解了计数序列中各类数的同余性质和非整数性质，以及它们的潜在应用价值。这些知识不仅有助于我们深入理解数学理论，还能为解决实际问题提供新的思路和方法。