14、组合计数序列中的组合数学与数论

组合计数序列中的组合数学与数论

在组合数学中，计数序列的研究涉及到诸多有趣的问题和概念，如欧拉数、斯特林数、富比尼数以及它们之间的关系，还有相关多项式的性质和应用。下面将深入探讨这些内容。

1. 欧拉数与斯特林数的关系

欧拉数和斯特林数之间存在着紧密的联系，其中一个简单的关系为：
[m!\left{\begin{array}{l}n\m\end{array}\right}=\sum_{k = 0}^{m}\left\langle\begin{array}{l}n\k\end{array}\right\rangle\left(\begin{array}{l}k\n - m\end{array}\right)]
等式左边表示将 (n) 个元素分成 (m) 个块，且块的顺序有意义的分组方式的数量。为了证明右边也表示相同的分组数量，我们进行如下分析：
- 已知一个具有 (k) 个游程的 (n -) 排列，这些游程会形成 (k) 个块。当 (k = m) 时，块和游程之间存在一一对应关系。
- 当 (k < m) 时，需要将一些游程拆分以得到新的块。具体来说，需要 (m - k) 个新的游程来得到 (m - k) 个新块，从而总共得到 (m) 个块。由于 (k) 个游程意味着有 (n - k = n - 1 - (k - 1)) 个上升位置，从这些位置中选择 (m - k) 个位置的可能性为 (\left(\begin{array}{l}n - k\m - k\end{array}\right))。
- 因为有 (\left\langle\begin{array}{l}n\n - k\end{array}\right\rangle) 个具有 (n - k