56、边界值问题的数值解法及应用

边界值问题的数值解法及应用

1. 引言

在工程和科学领域，边界值问题（Boundary-Value Problems）的求解至关重要。这类问题通常涉及到微分方程，并且需要满足特定的边界条件。本文将详细介绍几种常见的求解边界值问题的方法，包括射击法、有限差分法以及 MATLAB 中的 bvp4c 函数，并通过具体的例子展示这些方法的应用。

2. 射击法求解边界值问题

射击法是一种将边界值问题转化为初值问题的方法。通过不断调整初始条件，使得初值问题的解满足给定的边界条件。下面以一个热传导问题为例，展示如何使用射击法求解。

考虑一个热传导问题，其控制方程为：
[
\frac{d^2T}{dx^2} + h’(T_{\infty} - T) = 0
]
其中，(T) 是温度，(x) 是空间坐标，(h’) 是热传递系数，(T_{\infty}) 是环境温度。

我们可以使用 MATLAB 中的 ode45 函数求解该微分方程，并使用 fzero 函数找到合适的初始条件。具体步骤如下：
1. 定义微分方程：

function dydx = dydxn(x,y)
    h = 0.05; % 热传递系数
    T_inf = 200; % 环境温度
    dydx = [y(2); -h*(T_inf - y(1))];
end

2. 定义残差函数：