边值问题数值解法与近似方法详解

49、求解以下奇异边值问题（BVP）：y’’ + 2/x y’ = y/(1 + y)；y’(0) = 0；y(1) = 1。分别使用射击法结合割线法、布伦特法和牛顿法进行求解。

需按照射击法结合割线法、布伦特法和牛顿法的相关原理，使用合适的工具（如 MATLAB 的 ode45 求解器）进行求解。

50、使用打靶法分别结合割线法、布伦特法和牛顿法来求解非线性自治边值问题 y’’ = - y²；y(0) = y(1) = 2。

可按如下通用步骤求解：

1. 将二阶常微分方程 $ y’’ = - y^2 $ 转化为一阶常微分方程组；
2. 分别使用打靶法结合割线法、布伦特法和牛顿法，通过迭代确定合适的初始条件；
3. 若需要求解初值问题，可使用 MATLAB 的 ode45 求解器；
4. 利用相应的迭代公式进行迭代，直到满足收敛准则。

51、已知一个二阶常微分方程，其三个边界条件中有两个是在区间的右端给出的，而第三个条件y’‘(2)未知。尝试使用反向打靶法来解决这个问题。

可尝试以下步骤解决：

1. 将二阶常微分方程转化为一阶常微分方程组。
2. 猜测在区间右端的初始斜率值。
3. 从右端向左端对一阶常微分方程组进行积分。
4. 将计算得到的在区间左端点的 $ y $ 值与给定的左端点边界条件进行比较。
5. 通过打靶法改进初始猜测的斜率值，直到满足左端点的边界条件。

52、如果一个二阶常微分方程包含一阶项，并且用前向欧拉代数有理形式而非中心差分形式来替换它，那么收敛速率作为步长的函数会是怎样的？

一般而言，前向欧拉法是一阶方法，其收敛速率与步长的一次方成正比，即收敛阶为 1。

53、使用有限差分法（FDM）求解边值问题（BVP）y’’ = y，y(0) = 0，y(1) = 1，步长h = 0.05。