24、常微分方程初值与边值问题的数值解法

常微分方程初值与边值问题的数值解法

1. 引言

在求解由常微分方程和初始条件所确定的未知函数时，有一个具有历史意义的例子，即从以下方程中求解 $y(x)$：
[
\begin{cases}
\frac{dy}{dx}=y \
y(0)=1
\end{cases}
]
我们都知道，$y(x)=e^x$。实际上，指数函数 $e^x$ 由无穷级数定义：
[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}]
为证明上述级数确实是满足方程的 $y$ 的解，我们采用迭代积分的方法，使用计数器 $k$。首先，对原方程两边关于 $x$ 积分：
[\int_{0}^{x} \frac{dy}{dx} dx = \int_{0}^{x} y dx]
代入初始条件 $y(0)=1$ 后，得到：
[y(x) = 1 + \int_{0}^{x} y dx]
迭代方程为：
[y_{k + 1}(x) = 1 + \int_{0}^{x} y_{k}(x) dx]
迭代结果为 $y(1) = 1$，$y(2) = 1 + x$，$y(3) = 1 + x + \frac{x^2}{2!}$，最终答案是上述无穷级数。

本章重点并非通过求解方程得到 $y(x)$ 的解析表达式，而是计算 $x$ 等增量时 $y(x)$ 的数值。即对于选定的 $x$ 增量 $\Delta x$（步长 $h$），找到 $y_i \approx y(x_i)$，其中 $i = 1, 2, \cdots$，