54、常微分方程求解案例分析与实践

常微分方程求解案例分析与实践

1. 蹦极问题模拟

在处理蹦极问题时，由于相关方程并非刚性方程，我们可以使用 ode45 函数来获取解并将其可视化。以下是具体的代码实现：

[t,y] = ode45(@bungee,[0 50],[0 0],[],30,0.25,68.1,40,8);
plot(t,−y(:,1),'−',t,y(:,2),':')
legend('x (m)','v (m/s)')

在这个代码中，我们通过 ode45 函数求解蹦极过程中距离和速度随时间的变化。为了使负距离表示向下的方向，我们在绘图时反转了距离的符号。从模拟结果中，我们可以清晰地观察到蹦极者的弹跳运动。

2. 普林尼间歇喷泉案例

2.1 背景介绍

罗马自然哲学家老普林尼的花园里据说有一个间歇喷泉。水以恒定的流量 Qin 流入圆柱形水箱，当水位达到 yhigh 时，水通过圆形排放管虹吸流出，形成喷泉。当水位下降到 ylow 时，虹吸管充满空气，喷泉停止，然后水箱再次注水，循环重复。

2.2 数学模型

当喷泉运行时，水箱体积的变化率由流入量减去流出量决定：
[
\frac{dV}{dt} = Q_{in} - Q_{out}
]
由于水箱是圆柱形，(V = \pi R_t^2 y)，将其与流出量公式 (Q_{out} = C\