28、常微分方程系统的刚度与特征值分析

常微分方程系统的刚度与特征值分析

1. 特征方程与特征值

对于线性常系数常微分方程系统，其特征方程起着关键作用。对于一个(2\times2)的系统，特征方程是一个关于(\lambda)的二阶多项式：
(\lambda^2 - (a_{11} + a_{22})\lambda + a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12} = 0)
通过二次公式可求解得到两个特征值(\lambda_1)和(\lambda_2)：
(\lambda_{1,2} = \frac{(a_{11} + a_{22}) \pm \sqrt{(a_{11} + a_{22})^2 - 4(a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12})}}{2})
一般来说，对于(n\times n)的线性齐次代数系统，其特征方程是一个(n)阶多项式，会有(n)个特征值(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)，这些特征值可能是实数、复共轭、不同的或重复的。

2. 指数解

由于线性常系数常微分方程的性质，其通解是指数函数的线性组合，每个特征值对应一个指数函数：
(u_1(t) = c_{11}e^{\lambda_1t} + c_{12}e^{\lambda_2t})
(u_2(t) = c_{21}e^{\lambda_1t} + c_{22}e^{\lambda_2t})
这种解的叠加是线性微分方程的一个显著特征。将上述解代入原方程可验证其正确性。

在这些解中，有四个常数(c_{11}, c_{12}, c_{21}, c_{22})，它们成对出现，每对对应一个特征值。