数值微分

一、写在前面
数值积分之后，就应该是数值微分了，还是老套路，表明实验内容后，直接上代码，思想都在注释之中。

实验内容：

二、实验过程
对数值微分的思想有了一定的掌握，根据算法最基本的公式来写

三、实验结果

【参考代码】

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

double Derivativefunction(double x, double y)    //导函数表达式
{
    return y-2*x/y;
}

double function(double x)    //原函数
{
    return sqrt(1 + 2*x);
}

void Euler(double a, double b, double initialValue, int n)   
 //Euler算法，在区间[a, b]上，初值f（a） = initialValue, n等分
{
    int i = 0;
    double x = a;
    double y = initialValue;
    double h = (b-a)/n;    //步长
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        printf("x = %lf:\t", x+h);
        y = y + h*Derivativefunction(x, y);
        printf("y(Euler) = %lf\t", y);
        x += h;
        printf("y(准确) = %lf\n", function(x));
    }
}

void ImprovementEuler(double a, double b, double initialValue, int n)    
//ImprovementEuler算法，传入参数与Euler函数同理
//从Euler算法复制并加以修改
{
    int i = 0;
    double x = a;
    double yForecast;    //y预测
    double temp = initialValue;
    double yCorrecting;    //校正
    double h = (b-a)/n;    //步长
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        printf("x = %lf:\t", x+h);
        yForecast = temp + h*Derivativefunction(x, temp);
        yCorrecting = temp + (Derivativefunction(x, temp) + \
                              Derivativefunction(a+h*i, yForecast))*h/2;
        temp = yCorrecting;
        printf("y(ImprovementEuler) = %lf\t", temp);
        x += h;
        printf("y(准确) = %lf\n", function(x));
    }
}

void FourOrderRung_Kutta(double a, double b, double initialValue, int n)    //四阶Rung_Kutta算法
{
    int i = 0;
    double x = a;
    double y = initialValue;
    double h = (b-a)/n;    //步长
    double K1, K2, K3, K4;
    for(i=1; i<=10; i++)
    {
        printf("x = %lf:\t", x+h);
        K1 = Derivativefunction(x, y);
        K2 = Derivativefunction(x+h/2, y+K1*h/2);
        K3 = Derivativefunction(x+h/2, y+K2*h/2);
        K4 = Derivativefunction(x+h, y+K3*h);
        y += (K1+2*K2+2*K3+K4)*h/6;
        printf("y(FourOrderRung_Kutta) = %lf\t", y);
        x += h;
        printf("y(准确) = %lf\n", function(x));
    }
}

int main()
{
    printf("------------------------Euler----------------------\n");
    Euler(0, 1, 1, 10);
    printf("\n-------------------ImprovementEuler----------------\n");
    ImprovementEuler(0, 1, 1, 10);
    printf("\n-----------------FourOrderRung_Kutta---------------\n");
    FourOrderRung_Kutta(0, 1, 1, 10);
    return 0;
}

四、写在后面
数值微分的实际应用：
在许多科学技术问题中，建立的模型常常以常微分方程的形式表示。然而，除了少数特殊类型的常微分方程能用解析方法求其精确解外，要给出一般方程解析解的表达式是困难的。所以只能用近似方法求其数值解，在实际工作中常用计算机求常微分方程的数值解。所谓常微分方程的数值解即对于常微分方程初值问题

计算出在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的未知函数 y(x)近似值y0,y1,…yn，即找到一系列离散点（x0,y0）（x1,y1）（x2,y2）…（xn,yn）近似满足常微分方程。数值解法的基本思想用差商代替导数,实现连续问题离散化，选取不同的差商代替导数可以得到不同公式。