38、样条与分段插值：从基础到应用

样条与分段插值：从基础到应用

1. 样条插值概述

在数据插值中，传统的高阶多项式插值可能会因舍入误差和振荡而导致错误结果。样条插值提供了一种替代方法，它通过对数据点子集分段应用低阶多项式来减少振荡。

1.1 样条的优势

当函数在局部区域有突然变化时，样条插值通常比高阶多项式插值表现更好。例如，图 1 展示了一个函数在 (x = 0) 处突然增加的情况，高阶多项式插值会在突变附近产生剧烈振荡，而线性样条则能提供更可接受的近似。

1.2 样条的起源

样条的概念源于绘图技术，绘图员使用薄而灵活的条带（称为样条）在一组点之间绘制平滑曲线。通过在木板上钉钉子代表数据点，将条带交织在钉子之间，就可以得到平滑的三次曲线，因此这种类型的多项式被称为“三次样条”。

2. 线性样条

2.1 线性样条的定义

对于 (n) 个数据点，有 (n - 1) 个区间，每个区间 (i) 都有自己的样条函数 (s_i(x))。对于线性样条，每个函数是连接区间两端点的直线，其公式为：
[s_i(x) = a_i + b_i(x - x_i)]
其中，(a_i = f_i) 是截距，(b_i = \frac{f_{i + 1} - f_i}{x_{i + 1} - x_i}) 是直线的斜率。

2.2 示例：一阶样条拟合

假设有如下数据：
| (i) | (x_i) | (f_i) |
| — | — | — |
| 1 | 3.0 | 2.5 |
| 2 | 4.5 | 1.0 |
| 3