10、数值计算中的舍入误差与截断误差

数值计算中的舍入误差与截断误差

一、误差概述

在工程和科学领域，我们常常需要基于不确定的信息来实现目标。尽管追求完美是值得称赞的，但实际上很难达到。例如，在研究蹦极运动员的速度时，我们使用数值模型来近似求解，这就引入了误差。同时，计算机在表示数字的大小和精度方面存在局限性，也会导致结果出现误差。

1.1 准确性与精确性

误差可以从准确性和精确性两个方面来描述。准确性指的是计算或测量值与真实值的接近程度；精确性则是指各个计算或测量值之间的接近程度。

我们可以用打靶的例子来形象地理解这两个概念：
- 不准确且不精确 ：子弹孔分布分散，且偏离靶心。
- 准确但不精确 ：子弹孔围绕靶心分布，但比较分散。
- 不准确但精确 ：子弹孔集中在一处，但偏离靶心。
- 准确且精确 ：子弹孔紧密围绕靶心分布。

数值方法需要具备足够的准确性和精确性，以满足特定问题的需求。在本文中，我们用“误差”这个术语来统称预测中的不准确和不精确。

1.2 误差定义

数值误差源于使用近似值来表示精确的数学运算和量。真实值与近似值之间的关系可以表示为：
[
\text{True value} = \text{approximation} + \text{error}
]
通过移项可得：
[
E_t = \text{true value} - \text{approximation} <